If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Чужд корен / странично решение

Чуждите корени, наричани още странични решения, са стойности, които получаваме в процеса на решаване на уравненията, които реално не са техни решения. В това видео обясняваме как и защо получаваме чужди корени, като показваме логиката, върху която почива процеса на решаване на уравненията.

Видео транскрипция

В това видео ще разгледаме чуждите (странични) корени. Ако този термин ти е непознат, ти препоръчвам да гледаш уроците в Кан Академия за чужди корени. Само ще ти припомня, че това включва идеята, че съществуват много допустими алгебрични операции, след които получаваме решение или няколко решения, но когато ги проверим в първоначалното уравнение, те не удовлетворяват това първоначално уравнение. Основната идея в това видео е защо се появяват чужди корени. Всичко това е следствие от концепцията за обратимост. В алгебрата съществуват определени операции, които можеш да направиш в едната посока, но нямаш право да направиш в другата – защото те винаги са верни в едната посока, но не винаги са верни в другата посока. Ще ти покажа тези две операции. Едната от тях е повдигането на квадрат, а другата е умножаването на двете страни по някакъв израз с променлива. Да разгледаме пример с повдигането на квадрат и после ще видим един практически пример, в който има чужди корени. Знаем, например, че ако а е равно на b, можем да повдигнем двете страни на равенството и после а^2 ще е равно на b^2. Но обратният случай не е верен. Например, ако а^2 е равно на b^2, не винаги а ще е равно на b. Какъв пример може да показва, че това не винаги е вярно? Всъщност постави видеото на пауза и помисли върху това. Минус две на квадрат е равно на две на квадрат, но минус две не е равно на две. Следователно можеш да повдигнеш на квадрат двете страни на едно равенство и да заключиш, че равенството е изпълнено, но в обратната посока това не е задължително да е вярно. Друга операция, която понякога не е обратима, е е умножаването на двете страни на равенството по израз с променлива. Значи умножаваме двете страни на равенството, всъщност, както казах, това ще ни обърка, това прилича на х. Ще умножим двете страни на равенството по някаква променлива. Ще запиша просто променлива, но това може също да е някакъв израз, който съдържа променлива. Например, знаем, че ако а е равно на b, тогава, ако умножим двете страни на равенството по някаква променлива, то все още е изпълнено. х по а ще е равно на х по b. Но в обратната посока това не винаги е вярно. Ако х по а е равно на х по b, дали винаги а ще е равно на b? Простият отговор е не, и, както винаги, препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да потърсиш пример, в който това не е вярно. Ако а е равно на 2, а b е 3, а променливата х просто има стойност 0 – знаем, че нула по 2 е равно на 0 по 3, но 2 не е равно на 3. Каква е връзката между всичко това и чуждите корени, които си срещал/а при решаването на рационални уравнения, или когато си решавал/а някои рационални уравнения или уравнения, при които има рационални изрази от двете страни на равенството. Да видим един пример. Да решим едно ирационално уравнение. Ако искаме да решим уравнението корен квадратен от 5 по х минус 4 равно на х минус 2, обикновено първата стъпка е да се отървем от този корен, като повдигнем на квадрат двете страни на уравнението. Ще повдигна на квадрат двете страни и получавам 5 по х минус 4 равно на х^2 минус 4х плюс 4. Повтарям, ако това ти се струва напълно непознато, ние го разглеждаме в много по-голяма дълбочина в други видео уроци, в които въвеждаме понятието ирационални уравнения. Да видим, можем да извадим 5 от двете страни на уравнението. Можем да добавим 4 към двете страни. Искам просто да получа нула от лявата страна. Ще ми остане нула равно на х^2 минус 9 по х плюс 8, или нула равно на (х – 8) по (х – 1), или можем да кажем, че (х – 1) е равно на нула, или че (х – 8) е равно на 0. Получаваме х = 1 или х = 8. Сега да проверим тези решения. Ако х е равно на 8, ще получим – ще използвам различни цветове – когато заместим х = 8 в първоначалното уравнение, получаваме корен квадратен от 36 равно на 6, което е напълно вярно, така че този корен е верен. Но какво да кажем за х = 1? Получаваме корен квадратен от 5 по 1 минус 4, което е 1, равно на 1 минус 2, което дава –1. Този корен не става. Това е чужд корен. Ако някой те попита: "Кои са всички стойности на х, които удовлетворяват това уравнение?", не трябва казваш 1, въпреки че получи този корен чрез допустими алгебрични преобразувания. Причината това да е така, е – всъщност постави видеото на пауза, върни се назад и виж в кои от тези стъпки х = 1 удовлетворява уравнението, а в кои стъпки не го удовлетворява. Ще видиш, че х = 1 удовлетворява всички уравнения, които са под тази лилава черта. То не удовлетворява само корен квадратен от 5 минус 4 по х равно на х минус 2. Всъщност, можеш да започнеш с х минус 1 и после можеш да стигнеш до тази черта ето тук. Проблемът тук е, че повдигането на квадрат не е обратима операция. Това е все едно да кажем: знаем, че а^2 е равно на b^2. Знаем, че това е равно на това тук. Но това не означава, че а непременно е равно на b, когато х е равно на 1. Можем да направим същото с едно рационално... или с уравнение, което съдържа рационални изрази. Например, може да имаме – само да се уверя, че имам достатъчно място. Ако трябва да решим х^2 върху (х – 1) равно на 1 върху (х – 1), първото нещо, което искам да направя, е да умножа двете страни по (х – 1). Значи умножаваме по (х – 1). Сега, обърни внимание, че умножавам двете страни на уравнението по израз, който съдържа променлива, така че тук трябва да внимаваме. Ако умножа двете страни на уравнението по (х – 1), ще получа х^2 е равно на 1, така че мога да кажа, че х е равно на 1, или че х е равно на –1. Сега можем да проверим тези две решения. За х = 1, ако се върнем тук горе, делим двете страни на нула. Значи това е чужд корен. Ключовото тук е, че умножаваме двете страни по израз, който съдържа променлива. В този случай умножихме двете страни по (х – 1). Това е допустимо. Можем да умножим двете страни на равенството по израз с променлива, като това е напълно допустима алгебрична операция. Това е съвсем същото като това, което видяхме ето тук. Само понеже 0 по 2 е равно на 0 по 3 не означава, че 2 е равно на 3. Това е аналогично, защото умножаваме по израз, съдържащ променлива, който може да приеме стойност нула, когато х е равно на 1. Основният извод тук е – надявам се, че разбираш кога чуждите корени се срещат най-често – когато повдигаме на квадрат, когато умножаваме двете страни по израз, съдържащ променлива – напълно допустимо е, стига да го правиш правилно, но не винаги обратната операция е вярна. Можеш да добавиш или да извадиш всичко от двете страни на уравнението, и това са напълно обратими операции. Това не води до появата на чужди корени. Можеш да умножаваш или да делиш двете страни по константа, която е различна от нула. В този случай също няма да се появи нещо съмнително, но ако повдигаш на квадрат двете страни на уравнението, или умножаваш двете страни по израз, съдържащ променлива, тогава трябва да внимаваш.