Системи уравнения от втора степен: права и парабола

Дадени са графиките на парабола с уравнение у = 3х^2 – 6х + 1 и права с уравнение у – х + 1 = 0 . На чертежа тук виждаме параболата в червено и правата в синьо. Първият въпрос е: "Една от пресечните точки на двете графики е лесно определима на чертежа. Коя е тя?" . Искат да определим тази точка. Това всъщност е снимка от екрана с това упражнение в Кан Академия, като тук аз просто ще пиша отгоре. Ако решаваш задачата на сайта на Кан Академия, трябва да въведеш отговора. Постави видеото на пауза и виж дали можеш да отговориш на първата част от въпроса. Добре – едната пресечна точка на двете графики е ясно определима на чертежа. Аз виждам две пресечни точки. Виждам тази и тази тук. (посочва на екрана). Втората точка изглежда е лесно да се определи, защото, когато гледаме разграфяването, изглежда очевидно, че стойността на х е 2, а на у е 1. . Изглежда това е точката (2;1). Това тук е точката (2;1). Това, което означава пресечната точка е, че това е точка, която лежи на графиките на двете функции, което означава, че тя удовлетворява и двете уравнения. Това е решение и на двете уравнения ето тук. Втората част от въпроса е да намерим другата пресечна точка. Отговорът трябва да е точен. Значи искат да определим тази пресечна точка ето тук. (Сал я посочва на екрана) За да направим това, трябва да решим тази система от уравнения, . което е интересно, защото това е система, в която едното уравнение не е линейно, а е квадратно уравнение. . Да видим как можем да решим това. Ще препиша уравненията. Дадено е у = 3x^2 – 6х + 1. Следващото уравнение е у – х + 1 = 0. Един начин да решим тази система, да решим произволна система от уравнения, е чрез заместване. Ако можем да преработим линейното уравнение и да изразим у, можем да намерим у, тогава ще заместим стойността на у в първото уравнение, в квадратното уравнение, и после се надявам, че ще намерим х. Да намерим у в първото уравнение. Всъщност ще използвам различни цветове, защото тази графика е червена, а правата е в този син цвят. . Да изразим у. Най-лесният начин да изразим у е да добавим х към двете страни и да извадим 1 от двете страни на уравнението. Това беше трудно да се забележи. Значи изваждаме 1 от двете страни. Така ще получим у, а после всичко останало се унищожава, остава у равно на (х – 1). Когато заместим у с (х – 1) в първото уравнение, получаваме (х – 1) равно на 3х^2 – 6х + 1. Сега искаме да получим нула от едната страна на уравнението, така че хайде да извадим х. Сега ще използвам неутрален цвят. Да извадим х от двете страни. Да добавим 1 към двете страни. Какво получаваме? Отляво получаваме нула. Отдясно получаваме 3х^2 минус 7 по х, плюс 2. Това е равно на 0. Сега можем да разложим израза отдясно. Да видим, има ли очевиден начин за разлагане на множители? Можем ли да намерим две числа а по b, чието произведение е равно на 3 по 2? 3 по 2... ако това ти е непознато, преговори разлагане на множители чрез групиране. Дали сумата на същите тези две числа, а плюс b, ще е равна на –7? . Всъщност –6 и –1 са подходящи. Сега можем да преработим този израз като 0 равно на 3х^2, а после вместо –7 по х можем да запишем –6 по х минус х. После имаме плюс 2. Това е просто разлагане на множители чрез групиране. Ако този метод не ти е познат, можеш да използваш формулите за съкратено умножение. Значи нула е равно на – ако групирам първите два члена, мога да изнеса пред скоби 3 по х. . Получавам 3х по (х – 2). Мога да разложа на множители и вторите два члена. От вторите два члена мога да изнеса пред скоби –1, и получавам –1 по (х – 2). Сега мога да изнеса пред скоби –2. Ще се преместя малко надолу, за да имам повече място. Значи става нула равно на – ако изнесем пред скоби (х – 2), ще получим (х – 2) по (3х – 1). Решенията на уравнението са тези случаи, в които един от тези два множителя е равен на нула. Пак ще се преместя надолу. Значи когато (х – 2) е равно на нула, или (3х – 1) е равно на нула. Точката, в която (х – 2) е равно на нула е когато х е равно на 2. За (3х – 1) = 0... прибавям 1 към двете страни. Получаваме 3х = 1 или х равно на 1/3. Значи намерихме, че... ние вече видяхме решението, когато х е равно на 2. Това е тази точка ето тук, (2;1). Вече записахме това. Сега определихме стойността на х, която е другото ни решение. . Това е за х = 1/3 ето тук. Значи стойността на х е 1/3. Но все още трябва да намерим стойността на у. Стойността на у ще бъде съответната стойност на у, която можем да намерим от всяко от двете уравнения. Аз избирам да работя с по-лесното от двете уравнения. . Можем да намерим колко е х, когато... или колко е у, когато х = 1/3, от полученото уравнение. Можем да използваме и оригиналното уравнение, но това е даже още по-просто. Тук вече сме изразили у. Значи у е равно на 1/3 минус 1. Просто заместихме х с 1/3 ето тук. Получаваме, че у е равно на –2/3. То изглежда съответства на тази пресечна точка. у е равно на –2/3 ето тук на чертежа. Значи точката е (1/3; –2/3). И сме готови със задачата.