Графично решаване на уравнения

Да кажем, че искаме да решим уравнението 2 на степен (х^2 –3) равно на 1 върху корен трети от х. Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно да го решиш. Вероятно разбра, че не е лесно да се реши. Начинът, по който аз поне бих опитал да го реша, е да кажем, че това е 2 на степен (х^2 – 3) равно на х на степен... бих преработил това като 1 върху х на степен 1/3, така че това е х на степен –1/3. Можем да го опростим, като повдигнем двете страни на степен –3. Тогава ще получим, ако повдигнем нещо на някаква степен, а после го повдигнем на друга степен, можем да умножим двата степенни показателя. Значи това ще стане 2 на степен (–3х^2 + 9). Просто умножих тези два члена по минус 3, равно на х на степен –1/3 по–3. –1/3 по –3 дава 1, така че това е равно просто на х. Сега изглежда доста по-просто, но пак не е лесно. Можем да логаритмуваме двете страни и ще получим –3х^2 + 9 равно на логаритъм от х с основа 2. Но това отново не е никак лесно да се реши. Причината да ти давам тези уравнения е, че искам да видим, че някои примери не се решават лесно по алгебричен път. Но съществуват други инструменти, като компютри, които могат да построят графиките и могат да ни позволят поне да видим приблизително какво е решението. Начинът, по който можем да направим това, е да кажем, че ако намерим някаква функция, или някакво уравнение, в което у е равно на 2х... трябваше да кажа 2 на степен (х^2 – 3), и ако имаме друго уравнение, което е у равно на 1 върху корен трети от х, тогава можем да построим графиките на тези уравнения и след това да видим къде се пресичат. Защото там, където те се пресичат, това означава, че 2 на степен (х^2 – 3) има същата стойност като у равно на 1 върху корен трети от х. Друг начин да разсъждаваме за това е, че двете графики имат пресечна точка при такава стойност на х, за която тези два израза са равни помежду си. Това, което можем да направим сега, е да използваме графичен калкулатор или да отидем на сайта Desmos и да построим, или поне да опитаме да намерим приблизително каква е точката на пресичане. Да го направим. Аз предварително направих графиките на сайта на Desmos. Тук виждаш, че това са двете страни на уравнението ни, но сега сме ги представили като две функции. Ето тук в синьо имаме две... имаме f(х), или даже можем да кажем, че у е равно на f(х), което е равно на 2 на степен (х^2 – 3). После тук в този жълт цвят имаме у равно на g(х), което е равно на 1 върху корен трети от х. Виждаме къде се пресичат двете графики. Те се пресичат ето тук. Няма да получим точен отговор, но даже при този мащаб, а с инструмент като Desmos може да се промени мащаба, за да се получи още по-точен отговор. Всъщност даже можеш да превъртиш екрана и ще видиш в коя точка се пресичат графиките. Но дори да се опитаме да отговорим приблизително, като използваме чертежа, виждаме, че стойността на х ето тук изглежда че е около – да видим, това е около 1,5, като всяко деление е една десета. Значи това е 1,6, а после изглежда като 2/3 от това деление, значи това е около 1,66. Ако го решим и получим точен отговор, ще видим, че той ще е ужасно близо до 1,66. Основната ни цел тук е, че дори когато математически е трудно да се реши задачата, ние можем да я преформулираме, да я преработим, така че да намерим по-лесен начин за решаване. Можем да кажем: "Да направим две функции, а после да построим техните графики и да видим къде се пресичат." Стойността на х в пресечната точка на двете графики е решение на това уравнение, и това е точно начинът, по който подходихме тук. Казахме, че стойността на х, че решението е приблизително 1,66.