Въведение в уравнения, съдържащи квадратен корен

Да кажем, че имаме ирационалното уравнение (2х - 1) е равно на корен квадратен от (8 - х). Радикалът вече е изолиран от едната страна на уравнението. Може да решим да се отървем от радикала и да повдигнем двете страни на това уравнение на квадрат. Можем да кажем, че това е същото като (2х - 1)^2 е равно на (корен квадратен от (8 - х)) на квадрат. И после ще получим, да видим, (2х - 1)^2 е 4х^2 - 4х + 1 е равно на (8 - х). Тук трябва да сме много, много, много внимателни. Може да смятаме, че сме извършили логични действия, извършили сме едно и също нещо и от двете страни, така че тези уравнения са равностойни. Но те не са напълно равностойни. Понеже когато повдигаш нещо на квадрат, един начин да помислим върху това е, че когато го повдигаш на квадрат, губиш информация. Например това може да е вярно, дори ако първоначалното уравнение беше 2х... Нека направя това в различен цвят. Дори ако първоначалното уравнение беше (2х - 1) е равно на отрицателната стойност на корен квадратен от (8 - х). Понеже ако повдигнеш двете страни на това на квадрат, също ще получиш това тук, понеже отрицателна стойност на квадрат ще е положителна стойност. Когато намираме решение на това, трябва да проверим решението си, за да се уверим, че то наистина е решението на това първото жълто уравнение тук, а не решението на това тук горе. Ако е решение на това вдясно, а не на жълтото уравнение, тогава ще наричаме това чужд корен. Да видим дали можем да решим това. Нека го запишем като стандартно квадратно уравнение. Нека извадим 8 от двете страни. Нека извадим 8 от двете страни, за да се отървем от това 8 ето тук, и нека добавим х към двете страни. Тоест плюс х, като ще получим... Ще получим 4х^2 минус 3х минус 7 е равно на 0. Да видим, ще искаме да разложим това тук, и, да видим, може би мога да го направя това като... Просто ще използвам формулата за корените на квадратно уравнение. Решенията ще са: х ще е равно на -b, тоест 3, плюс или минус корен квадратен от b^2, тоест (-3)^2 е 9, минус 4а, тоест 4 по 4, по с, което е -7. Мога просто да кажа по... Ще запиша 7 тук и после този отрицателен знак ще направи това положително. Всичко това върху 2а. Тоест 2 по 4 е 8. Това ще е 3 плюс или минус корен квадратен от... Да видим, 4 по 4 е 16, по 7... 16 по 7 ще е равно на 70, плюс 42. Нека се уверя, че това е вярно. 16 по 7. 2, 4... Това е 112 + 9. Тоест 121 и това стана добре. +/- корен квадратен от 121, всичко това върху 8. Това е равно на 3 +/- 11, всичко това върху 8. Това е равно на, ако добавим 11, това е 14/8. Или, ако извадим 11, 3 - 11 е -8. -8, делено на 8, е -1. Така че трябва да помислим... Може да си кажеш: "Намерих две решения на ирационалното уравнение." Но помни: едно от тези може да е решение на това алтернативно ирационално уравнение, което се изгуби, когато повдигнахме двете страни на квадрат. Трябва да сме сигурни, че те са верни, или може би едно от тези е чужд корен. Всъщност едно от тях много вероятно е решение на това ирационално уравнение, което не беше първоначалната ни цел. Да видим. Нека изпробваме х = -1. Ако х е равно на -1, тогава ще имаме 2 по -1, минус 1 е равно на корен квадратен от (8 - -1). Това ще е (-2 - 1) е равно на корен квадратен от... е равно на корен квадратен от 9. И ще имаме -3 е равно на корен квадратен от 9. Това е положителен корен квадратен. Това не е вярно. Това тук е чужд корен. Чужд корен. Това е решение на уравнението ето тук. Понеже, забележи, при това, ако заместиш 2 по -1, минус 1 е равно на минус корен квадратен от (8 - (-1)). Това е -3 е равно на -3. Така че е вярно за това. Така че това тук е чужд корен. Това тук ще е реалното решение на първоначалното ни уравнение, като можеш да се увериш в това самостоятелно. Всъщност те окуражавам да направиш това.