Изчисляване на логаритми: правило за смяна на основата

Използвай формулата за смяна на основата, за да намериш логаритъм от 100 при основа 5, закръглено до най-близката хилядна. Формулата за смяна на основата е полезна формула, особено когато ще използваш калкулатор, защото повечето калкулатори не ти позволяват произволно да променяш основата на логаритъма. Те имат функции за логаритъм с основа е, което е естественият логаритъм и логаритъм при основа 10. Така че като цяло трябва да смениш основата си. Ето за какво е необходима формулата за смяна на основата. Ако имам време, ще ти кажа защо в това има много смисъл и как можем да го получим. Формулата за смяна на основата просто ни казва, че – нека използвам тук няколко цвята – логаритъм от b при основа а е точно същото като логаритъм от b при основа х, където х е произволна основа, върху логаритъм от а при основа тази същата основа, основата х. И причината, поради която това е полезно, е че можем да сменим основата. Тук основата е а, като можем да я променим с х. Ако калкулаторът има функция за определена основа х, можем да превърнем в тази основа. Това обикновено е основа 'е' или основа 10. Основа 10 е лесна за използване основа. Като цяло, ако просто видиш някой да пише логаритъм по този начин, ако просто пише логаритъм от х, това предполага, той има предвид логаритъм от х при основа 10. Ако някой пише естествен логаритъм от х, той има предвид логаритъм от х при основа е, като 'е' е очевидно числото 2,71, което продължава нататък до безкрайност. Сега нека я приложим към тази задача. Трябва да намерим логаритъма – ще използвам различни цветове – от 100 при основа 5. Това свойство, тази формула за смяна на основата, ни казва, че това е точно същото нещо като логаритъм – ще направя х да е 10 – логаритъм от 100 при основа 10, делено на логаритъм от 5 при основа 10. Всъщност дори не ни трябва калкулатор, за да изчислим горната част. Логаритъм от 100 при основа 10 – на каква степен трябва да повдигна 10, за да получа 100? Втора степен. Така че числителят е равен просто на 2. Той се опростява до 2 върху логаритъм от 5 при основа 10. Сега можем да използваме калкулатора, защото логаритмичната функция на калкулатора е с основа 10. Нека извадя калкулатора. Ще трябва да изтрия това. 2, делено на – когато някой просто напише log, това означава основа 10; ако е натиснат бутона ln, това означава основа 'е'. Така че само log, без никаква друга информация, означава логаритъм при основа 10. Това е логаритъм от 5 при основа 10 е равно на 2 цяло – като от нас се иска да закръглим до най-близката хилядна – така че имаме 2,861. Това е приблизително равно на 2,861. Като можем да го проверим, защото на теория ако повдигна 5 на тази степен, би трябвало да получа 100. В това има известен смисъл, защото 5 на втора степен е 25, 5 на трета степен е 125, а това е между двете, като е по-близо до трета степен, отколкото до втора. А това число е по-близо до 3, отколкото до 2. Но нека го проверим. Ако повдигна 5 на тази степен и след това – нека го напиша, нека напиша това, което закръглихме до най-близката хилядна – 5 на степен 2,861. Няма да въвеждам всичките цифри. Какво получавам? Получавам 99,94. Ако въведа всичките цифри, би трябвало да се приближа доста повече до 100. Това те кара да се чувстваш уверен, че това е степента, на която трябва да повдигна 5, за да получа 100. Знаейки това, нека всъщност помислим защо това свойство, защо това тук има смисъл. Ако напиша логаритъм при основа а – ще се опитам да използвам същите цветове – логаритъм от b при основа а. Нека кажем, че това е равно на някакво число. Ще кажем, че е равно на с или мога да го означа с е. Ще кажем, че е равно на с. Това означава, че а на степен с е равно на b. Това е експоненциален начин да го напишем. Това е логаритмичен начин да го напишем. Това е равно на b. Можем да изчислим логаритъм при всяка основа от двете страни. Ако кажеш: "10 на коя степен е равно на това?" 10 на същата степен ще бъде равно на това, защото тези две неща са равни едно на друго. Нека изчислим същия логаритъм от двете страни тук, логаритъма със същата основа. Всъщност ще изчисля логаритъм при основа х, за да докажа общия случай тук. Ще изчисля логаритъм при основа х от двете страни на това. Това е логаритъм от (а на степен с) при основа х – ще се опитам да следвам цветовете – е равно на логаритъм от b при основа х. Ще затворя скобите също с оранжево. Знаем от свойствата на логаритмите, че логаритъм от (а на степен с) е същото като с по логаритъм от това, което е основата – от а. Логаритъм от а. Разбира се ,това ще бъде равно на логаритъм от b при основа х. Нека поставя – мога просто да напиша b ето там. И ако искаме да намерим колко е с, просто разделяш двете страни на логаритъм от а при основа х. Така че получаваш с е равно на – използвам същия цвят – това е логаритъм от b при основа х, което е това, върху логаритъм от а при основа х. И това е, което беше с. с беше логаритъм от b при основа а. То е равно на логаритъм от b при основа а. Нека го запиша по този начин. Нека го напиша – ще използвам първоначалните цветове, за да стане достатъчно ясно какво правя. Мисля, че знаеш на къде отива това, но искам да следвам цветовете. И така, с е равно на логаритъм от b при основа х върху – ще превъртя малко надолу – логаритъм от а при основа х, разделяме двете страни на това. И от тук знаем, че мога просто да копирам това, това е също равно на с. Така сме го определили. Нека го копирам и след това да го поставя тук. Това също е равно на с. И сме готови. Доказахме формулата за смяна на основата. Логаритъм от b при основа а е равен на логаритъм от b при основа х, делено на логаритъм от а при основа х. В този пример а беше 5, b беше 100 а основата, с която сменихме, беше 10. х е 10.