If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 8

Урок 5: Решаване на показателни уравнения с логаритми
Математика
Алгебра 2
Логаритми
Решаване на показателни уравнения с логаритми
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Решаване на показателни уравнения с логаритми

Класна стая на Google
Научи как да решиш всяко степенувано уравнение от вида a⋅b^(cx)=d. Реши например 6⋅10^(2x)=48.
Ключът към решаването на уравнения със степени е използването на логаритмите! Нека погледнем по-отблизо и да решим няколко примера.

Решаване на показателни уравнения от вида a, dot, b, start superscript, x, end superscript, equals, d

Реши 5, dot, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240.
За да намерим x, първо трябва да отделим от едната страна на знака за равенство частта, съдържаща степен. За да направим това ще разделим двете страни на 5 както е показано по-долу. Не умножаваме 5 по 2, защото това противоречи на реда на действията!
5⋅2x=2402x=48\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \end{aligned}
Сега можем да намерим x като преобразуваме уравнението в логаритмичен вид.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 е еквивалентно на log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
И така решихме уравнението! Точното решение е x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
Понеже 48 не е рационална степен на 2, трябва да използваме правилото за смяна на основата и калкулаторите си, за да пресметнем логаритъма. Това е показано по-долу.
x=log⁡2(48)=log⁡(48)log⁡(2)Правило за смяна на основата≈5,585Пресмятаме с калкулатор\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Правило за смяна на основата}}} \\\\ &\approx 5{,}585 &&{\gray{\text{Пресмятаме с калкулатор}}} \end{aligned}
Приблизителното решение, закръглено до най-близката хилядна, е x, approximately equals, 5, comma, 585.

Провери знанията си

1) Какво е решението на 2, dot, 6, start superscript, x, end superscript, equals, 236?
Избери един отговор:

2) Реши 5, dot, 3, start superscript, t, end superscript, equals, 20.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.
t, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Реши 6, dot, e, start superscript, y, end superscript, equals, 300.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Решаване на уравнения със степени от вида a, dot, b, start superscript, c, x, end superscript, equals, d

Да разгледаме друг пример. Реши 6, dot, 10, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 48
Отново първо искаме от едната страна на знака за равенство да остане само частта, която съдържа степен, затова разделяме двете страни на 6.
6⋅102x=48102x=8\begin{aligned} 6\cdot 10^{2x}&=48\\\\ \blueD{10}^{\greenD{2x}}&= \goldD8 \end{aligned}
След това можем да свалим степенния показател като преобразуваме в логаритмичен вид.
log⁡10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \end{aligned}
Накрая можем да разделим двете страни на 2, за да намерим стойността на x.
x, equals, start fraction, space, log, start base, 10, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Това е точният отговор. За да закръглим отговора да най-близката хилядна, можем да запишем това директно в калкулатора. Забележи, че тук няма нужда да променяме основата, понеже това вече е с основа 10.
x= log⁡10(8)2= log⁡(8)2log⁡10(x)=log⁡(x)≈0,452Пресмятаме с калкулатор\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2} \\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\ &\approx 0{,}452 &&{\gray{\text{Пресмятаме с калкулатор}}}\end{aligned}

Провери знанията си

4) Кое от следните е решението на 3, dot, 10, start superscript, 4, t, end superscript, equals, 522?
Избери един отговор:

5) Реши 4, dot, 5, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 300.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Реши minus, 2, dot, 3, start superscript, 0, comma, 2, z, end superscript, equals, minus, 400.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.
z, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача за упражнение

7) Кои от следните са решения на равенството left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 4, right parenthesis, equals, 0?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.