Основно съдържание

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 8

Урок 5: Решаване на показателни уравнения с логаритми

Решаване на показателни уравнения с логаритми

Научи как да решиш всяко степенувано уравнение от вида a⋅b^(cx)=d. Реши например 6⋅10^(2x)=48.

Ключът към решаването на уравнения със степени е използването на логаритмите! Нека погледнем по-отблизо и да решим няколко примера.

Решаване на показателни уравнения от вида $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Реши

5 \cdot 2^{x} = 240

За да намерим

x

, първо трябва да отделим от едната страна на знака за равенство частта, съдържаща степен. За да направим това ще разделим двете страни на

5

както е показано по-долу. Не умножаваме

5

по

2

, защото това противоречи на реда на действията!

\begin{aligned} 5 \cdot 2^{x} & = 240 \\ 2^{x} & = 48 \end{aligned}

Сега можем да намерим

x

като преобразуваме уравнението в логаритмичен вид.

2^{x} = 48

е еквивалентно на

\log_{2} (48) = x

И така решихме уравнението! Точното решение е

x = \log_{2} (48)

Понеже

48

не е рационална степен на

2

, трябва да използваме правилото за смяна на основата и калкулаторите си, за да пресметнем логаритъма. Това е показано по-долу.

\begin{aligned} x & = \log_{2} (48) \\ = \frac{\log (48)}{\log (2)} & Правило за смяна на основата \\ \approx 5,585 & Пресмятаме с калкулатор \end{aligned}

Приблизителното решение, закръглено до най-близката хилядна, е

x \approx 5,585

Провери знанията си

1) Какво е решението на $2 \cdot 6^{x} = 236$ ‍?

2) Реши $5 \cdot 3^{t} = 20$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.

t =

3) Реши $6 \cdot e^{y} = 300$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.

y =

Решаване на уравнения със степени от вида $a \cdot b^{c x} = d$ ‍

Да разгледаме друг пример. Реши

6 \cdot 10^{2 x} = 48

Отново първо искаме от едната страна на знака за равенство да остане само частта, която съдържа степен, затова разделяме двете страни на

6

\begin{aligned} 6 \cdot 10^{2 x} & = 48 \\ 10^{2 x} & = 8 \end{aligned}

След това можем да свалим степенния показател като преобразуваме в логаритмичен вид.

\begin{aligned} \log_{10} (8) & = 2 x \end{aligned}

Накрая можем да разделим двете страни на

2

, за да намерим стойността на

x

x = \frac{\log_{10} (8)}{2}

Това е точният отговор. За да закръглим отговора да най-близката хилядна, можем да запишем това директно в калкулатора. Забележи, че тук няма нужда да променяме основата, понеже това вече е с основа

10

\begin{aligned} x & = \frac{\log_{10} (8)}{2} \\ = \frac{\log (8)}{2} & \log_{10} (x) = \log (x) \\ \approx 0,452 & Пресмятаме с калкулатор \end{aligned}

Провери знанията си

4) Кое от следните е решението на $3 \cdot 10^{4 t} = 522$ ‍?

5) Реши $4 \cdot 5^{2 x} = 300$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.

x =

6) Реши $- 2 \cdot 3^{0, 2 z} = - 400$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.

z =

Задача за упражнение

7) Кои от следните са решения на равенството $(2^{x} - 3) (2^{x} - 4) = 0$ ‍?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 8

Решаване на показателни уравнения от вида a⋅bx=d‍

Провери знанията си

Решаване на уравнения със степени от вида a⋅bcx=d‍

Провери знанията си

Задача за упражнение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Решаване на показателни уравнения от вида $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Решаване на уравнения със степени от вида $a \cdot b^{c x} = d$ ‍