If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 8

Урок 3: Свойства на логаритмите
Математика
Алгебра 2
Логаритми
Свойства на логаритмите
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Въведение към свойства на логаритмите

Класна стая на Google
Научи как логаритмуваме произведение, частно и степен и как можем да използваме това, за да преобразуваме логаритмични изрази. Логаритмувай например log₂(3a).
Логаритмуване на произведениеlog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Логаритмуване на частноlog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Логаритмуване на степенlog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Тези свойства важат за всички стойности на M, N и b, за които логаритъмът е дефиниран, които са M, N, is greater than, 0 и 0, is less than, b, does not equal, 1.)

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Трябва да знаеш какво са логаритми. Ако не знаеш, виж урока въведение в логаритмите.

Какво ще научиш в този урок

Логаритмите, като степените, имат много полезни свойства, които могат да бъдат използвани за опростяване на логаритмични изрази и решаване на логаритмични уравнения. Тази статия разглежда три от тези свойства.
Нека разгледаме поотделно всяко свойство.

Логаритмуване на произведение: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Това свойство казва, че логаритъмът от едно произведение е равен на сбора от логаритмите на множителите.
Можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да преобразуваме логаритмичните изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на правилото за логаритмуване на произведение

За нашите цели, разлагане на един логаритъм означава записването му като сбора от два логаритъма или повече.
Нека разложим log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis на множители.
Забележи, че двата множителя на аргумента на логаритъма са start color #11accd, 5, end color #11accd и start color #1fab54, y, end color #1fab54. Можем директно да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да разложим логаритъма на множители.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)Логаритмуване на произведение\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{Логаритмуване на произведение}}} \end{aligned}

Пример: Опростяване на сбор на логаритми с еднаква основа

За нашите цели, опростяване на сбор на два или повече логаритъма означава записването им като един единствен логаритъм.
Да опростим log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
След като двата логаритъма имат една и съща основа (основа 3), можем да приложим в обратна посока свойството за логаритмуване на произведение:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)Логаритмуване на произведение=log⁡3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{Логаритмуване на произведение}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Важна забележка

Когато опростяваме логаритмични изрази чрез използване на свойството за логаритмуване на произведение, основите на всички логаритми в израза трябва да са еднакви.
Не можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да опростим израз като log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Провери знанията си

1) Разложи log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis на множители.

2) Опрости log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Логаритмуване на частно: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Това свойство казва, че логаритъмът от частно е равен на разликата на логаритмите на делимото и делителя.
Нека сега използваме свойството за логаритмуване на частно, за да преобразуваме логаритмичните изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на частно

Нека представим log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis като разликата на два логаритъма, като директно приложим свойството за логаритмуване на частно.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)Логаритмуване на частно\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{Логаритмуване на частно}}} \end{aligned}

Пример: Опростяване на логаритми с помощта на свойството за логаритмуване на частно

Опрости log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Тъй като двата логаритъма имат една и съща основа (основа 4), можем да приложим свойството за логаритмуване на частно в обратна посока:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)Логаритмуване на частно\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{Логаритмуване на частно}}} \end{aligned}

Важна забележка

Когато опростяваме логаритмични изрази с използване на свойството за логаритмуване на частно, основите на всички логаритми в израза трябва да са едни и същи.
Например не можем да използваме свойството за логаритмуване на частно, за да опростим израз като log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Провери знанията си

3) Разложи log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.

4) Опрости l, g, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, l, g, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Логаритмуване на степен: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Това свойство на логаритмите гласи, че логаритъм от нещо, повдигнато на степен, е равен на степенният показател, умножен по логаритъма от основата на степента.
Нека сега използваме свойството за логаритмуване на степен, за да преработим някои логаритмични изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на степен

За нашите цели в този раздел, разлагане на логаритъм от степен означава представянето му като кратно на друг логаритъм.
Нека използваме свойството за логаритмуване на степен, за да разложим log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis на множители.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)Логаритмуване на степен=3log⁡2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{Логаритмуване на степен}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Пример: Опростяване на кратно на логаритъм

За нашите цели в този раздел, опростяване на кратно на логаритъм означава представянето му като един единствен логаритъм.
Нека използваме свойството за логаритмуване на степени, за да опростим 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis.
Когато опростяваме един логаритмичен израз с използване на свойството за логаритмуване на степени, поставяме всички множители в степенния показател.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)Свойство за логаритмуване на степен=log⁡5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{Свойство за логаритмуване на степен}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Провери знанията си

5) Разложи log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis на множители.

6) Опрости 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

Задачи с повишена трудност

За да решиш следващите задачи, ще трябва да приложиш по няколко свойства за всяка от тях. Опитай!
7) Кой от следните изрази е еквивалентен на log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Избери един отговор:

8) Кой от следните изрази е еквивалентен на 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.