Основно съдържание
Курс: Алгебра 2 > Раздел 4
Урок 4: Теорема на Безу- Въведение в теоремата на Безу
- Теорема на Безу: намиране на остатък от уравнение
- Примери с теоремата на Безу
- Теорема на Безу
- Теорема на Безу: проверка на множителите
- Теорема на Безу: намиране на коефициентите
- Доказателство на теоремата на Безу
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Доказателство на теоремата на Безу
Теоремата на Безу изглежда невъзможна за доказване, но Сал показва как може да се направи за по-малко от шест минути!
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека докажем теоремата за делене на полиноми с остатък (теорема на Безу). За да конкретизираме доказателството ще започна с примера, който видяхме във видеото, което ни въведе в теоремата за делене на полиноми с остатък. Видяхме, че ако вземеш 3х^2 - 4х + 7 и после разделиш това на (х - 1), получаваш 3х - 1 с остатък от 6. Когато извършим дълго полиномно делене, как знаем кога сме стигнали до остатъка? Когато стигнем до израз, който има по-ниска степен от делителя, от това, на което делим другото нещо. В този пример можехме да преобразуваме това, което направихме тук, като f(х). Нека го запиша ето тук. Можехме да кажем – 3х^2 - 4х + 7 е равно на (х - 1) по частното тук или частното по (х - 1). Това ще е равно на всичко тук. Това ще е равно на 3х - 1 по делителя, по (х - 1). Когато умножиш тези две неща, не получаваш точно това. Все още трябва да добавиш остатъка. Тоест плюс остатъка. Нека запиша остатъка. Тоест плюс 6. Аналогията тук е точно аналогията, както при традиционното деление. Ако кажа – нека просто покажа аналогията. Ако кажа 24 делено на 4, тогава ще каже, че 4 влиза в 25 6 пъти, 6*4 е 24. Ще извадиш и после ще получиш остатък 1. Или друг начин да кажем това е че 25 е равно на 6*4 + 1. Тук направихме напълно същото нещо, но го направихме с изрази. Отново, не съм започнал доказването все още, просто исках да свикнеш с това, което написах тук. Ако разделях този полином на този израз и получех това частно, това е същото нещо като да кажем, че този полином може да е равен на (3х - 1) по (х - 1) + 6. Това по принцип е вярно. Нека малко се абстрахираме. Това е f(х). Това е f(х). f(х) ще е равна на колкото е частното. Нека наричам това q(х). Ще направя това в различен цвят. Ще наричам това q(х). Това тук е q(х). f(х) ще е равна на частното, q(х), по – това е нашето (х - а), в този случай а е 1, но просто опитвам да генерализирам нещата. (х - а) и после плюс остатъка. Знаем, че остатъкът ще е константа, понеже остатъкът ще е от по-ниска степен от (х - а). (х - а) е от първа степен. За да е от по-ниска степен, това трябва да е степен 0. Това трябва да е константа. Така че това по принцип е вярно. Това е вярно за всеки полином – f(х) делено на всяко (х - а). Това е вярно. Това е вярно за всеки f(х) и (х - а). Какво ще се случи, ако изчислим f(а)? Ако f(х) може да бъде записано така, можем да запишем f от... нека направя това в нов цвят, за да се отличава. Можем да запишем, че f(а) ще е равно на q(а) по – мисля, че може би виждаш накъде отива това – по (а - а) + r. На колко ще е равно това? На колко ще е равно всичко това? а - а е 0 и q(а) – не ме интересува колко е q(а) – ако ще го умножаваш по 0, всичко това ще е 0. Така че f(а) ще е равно на r. И готово. Това е доказателството на теоремата за делене на полиноми с остатък (теорема на Безу). Всяка функция, ако когато я разделиш на (х - а), получаваш частно q(х) и остатък r, може да бъде записана по този начин. Ако е записана по този начин и я изчислиш при f(а) и поставиш а ето тук, тогава ще видиш, че f(а) ще е колкото е бил остатъкът. Това е теоремата за делене на полиноми с остатък. И сме готови. Едно от най-лесните доказателства, които съществуват, за нещо, което отначало изглежда донякъде като магия.