If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Разлагане на многочлени чрез използване на общ множител

Научи как да намираш общ множител на полиномен израз. Например коефициентът 6x²+10x като 2x(3x+5).

С какво трябва да си наясно, преди да започнеш този урок

НОД (най-голям общ делител) на два или повече едночлена е произведението на всички техни общи прости делители. Например НОД на 6, x и 4, x, squared е 2, x.
Ако това е нещо ново за теб, може да разгледаш нашата статия за най-големи общи делители на едночлени.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да намираш общите делители на многочлени.

Разпределителното свойство: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

За да разбереш как да разложиш на общи делители, трябва да разбереш разпределителното свойство.
Например можеш да използваш разпределителното свойство, за да намериш произведението на 3, x, squared и 4, x, plus, 3, както е показано по-долу:
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Забележи как всеки член в двучлена е умножен по общ коефициент start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99.
Но тъй като разпределителното свойство е равенство, обръщането на този процес също е вярно!
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis
Ако започнем с 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, можем да използваме разпределителното свойство, за да разложим start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 и да получим 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
Полученият израз е в разложен вид, защото е записан като произведение на два многочлена, докато първоначалният израз е сума на два члена.

Провери знанията си

Задача 1
Запиши 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis в разложен вид.
Избери един отговор:

Намиране на най-голям общ делител (НОД)

За да намерим НОД на един многочлен, правим следното:
  1. Намери НОД за всички членове в многочлена.
  2. Запиши всеки член като произведение на НОД и друг делител.
  3. Използвай разпределителното свойство, за да намериш НОД.
Нека да намерим НОД на 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Стъпка 1: Намери НОД
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Така че НОД на 2, x, cubed, minus, 6, x, squared е start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
Стъпка 2: Запиши всеки член като произведение на start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 и друг множител.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Така че многочленът може да бъде записан като 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Стъпка 3: Намери НОД
Сега можем да приложим разпределителното свойство, за да намерим start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis
Проверка на резултата
Можем да проверим разлагането чрез умножаване на 2, x, squared обратно в многочлена.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Тъй като това е същото като първоначалния многочлен, нашето разлагане е правилно!

Провери знанията си

Задача 2
Изнеси пред скоби най-големия общ делител в израза 12, x, squared, plus, 18, x.
Избери един отговор:

Задача 3
Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

Задача 4
Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Можем ли да бъдем по-ефективни?

Ако се чувстваш сигурно в процеса на намиране на НОД, може да използваш по-бърз метод:
Щом намерим НОД, разложеният вид е просто произведение на този НОД и сумата от членовете в първоначалния многочлен, разделена на НОД.
Виж например как използваме този бърз метод да разложим 5, x, squared, plus, 10, х, чийто НОД е start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Разлагане на делители-двучлени

Не е задължително общият делител в един многочлен да бъде едночлен.
Например разгледай многочлена x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Обърни внимание, че двучленът start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 е общ за двата члена. Може да го изнесем пред скоби, като използваме разпределителното свойство:
x, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, minus, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis

Провери знанията си

Задача 5
Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Различни видове разлагания

Може да изглежда, че сме използвали израза "разлагане", за да опишем няколко различни процеса:
  • Ние разложихме едночлените, като ги записахме като произведение на други едночлени. Например 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Намерихме НОД на многочлени, като използвахме разпределителното свойство. Например 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Изнесохме пред скоби общите множители-двучлени и получихме израз, равен на произведението на двата двучлена. Например:
x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
Макар че използвахме различни техники, във всеки един случай записвахме многочлена като произведение на два или повече множителя. Така че и в трите примера наистина разложихме многочлена.

Задачи с повишена трудност

Задача 6
Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

Задача 7
Голям правоъгълник с площ 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared кв.м. е разделен на два по-малки правоъгълника с площ 14, x, start superscript, 4, end superscript и 6, x, squared квадратни метра.
Ширината на правоъгълника (в метри) е равна на най-големия общ делител на 14, x, start superscript, 4, end superscript и 6, x, squared.
Каква е дължината и широчината на големия правоъгълник?
start text, Ш, и, р, и, н, а, end text, equals
метра
start text, Ш, и, р, и, н, а, end text, equals
метра