If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Въведение в геометрична прогресия

Геометричен ред представлява сумата от първите членове на една геометрична прогресия. Например 1, 2, 4, 8,... е геометрична прогресия, а 1+2+4+8+... е геометричен ред. Виж пример как геометричните редове ни помагат да опишем баланса на една спестовна сметка.

Видео транскрипция

В това видео ще се запознаем с геометричните редове и аз ще конструирам една малка таблица, от която можем да разберем как нарастват парите ни, ако внесем депозит в банката – например 1000 долара за една година. Да кажем, че това е годината, като ще разглеждаме колко пари имаме в началото на годината, и после това са доларите в сметката. Да кажем, че банката определя годишна лихва 5% на година, което е много добре. Много трудно се намира банка, която отпуска реално 5% лихва за година по депозитите. Това означава, че ако внесеш точно 100 долара в началото на годината, след една година те ще станат 105 долара. Ако внесеш 1000 долара, след година ще станат 1050 долара. Това е с 5% повече. Да кажем, че искаме да вложим 1000 долара за година, и искаме да разберем колко ще бъде балансът в началото на първата година, в началото на втората година, в началото на третата година, като искаме да изведем обща формула за началото на n-ата година. Значи в началото на първата година внасям точно 1000 долара в сметката. Това е много просто. Какво се случва на втората година? В сметката има 1000 долара, но тези начални 1000 долара ще нараснат. Значи ще имаме 1000 долара, като тези начални 1000 долара, внесени в началото на първата година, ще се увеличат с 5%. Увеличение с 5% е същото като да умножим по 1,05. Значи ще имаме плюс 1000 долара по 1,05. Това е лесно. А какво става в началото на третата година? Колко ще имаме в банковата си сметка, точно на датата, на която съм внесъл първия депозит? Постави видеото на пауза. Виж можеш ли да го решиш самостоятелно. Добре, точно както в началото на втората година и в началото на първата година, ще имаме 1000 долара депозит, но сега парите от втората година са се увеличили с 5%, така че сега имаме 1000 по 1,05. После парите, които сме вложили през първата година, които бяха 1000 по 1,05 през втората година, сега са се увеличили с още 5%. Значи това ще бъде плюс (1000 по 1,05) по 1,05. Увеличават се с още 5%. Можем да преработим тази част ето тук, като (1,05)^2. Виждаш ли общата закономерност, която се наблюдава? Когато отидем в година n, всъщност спри видеото и опитай да запишеш общата формула. Ще трябва да повторяш това по, по, по, за да намериш колко са станали парите. Но виж дали можеш да намериш обща формула за парите през n-ата година. Значи в началото на n-ата година ще имаме началните 1000 долара – в началото на n-ата година, а после ще имаме плюс 1000 по 1,05, за тези 1000 долара, които са пренесени в началото на (n –1)-ата година. И това продължава и продължава, и стигаме до плюс 1000 по 1,05 на степен, равна на броя на годините, в които внасяме. Значи тези 1000 долара са тези, които са внесени през първата година, а после колко години са изминали? Отиваме от година първа до втората, изминава 1 година. Когато отидем от година 1 до година 3 изминават 2 години. В началото на n-ата година имаме степен, която е с 1 по-малка от това. Значи това е равно на (n – 1) степен. Ние току-що конструирахме всеки от тези изрази, когато питаме колко пари имаме в банковата сметка в началото на третата година? Или колко пари имаме в банковата сметка в началото на година n. Това е геометричен ред, и аз ще го запиша. Геометричен ред. Само да преговорим, или може да не е преговор, може би е запознаване, редовете са свързани с редиците, и можеш да разглеждаш един ред като сума от членовете на една редица. Редици... ще сляза малко надолу, така че да има повече място, редица е подреден списък от числа. Редица може да е – да кажем, че имаме геометрична редица (прогресия), като при геометричната прогресия всеки следващ член е предишният член, умножен по фиксирано число. Да кажем, че започнем от 2, и всеки път умножаваме по 3. Значи тръгваме от 2, 2 по 3 е 6, 6 по 3 е 18, 18 по 3 е 54. Това е геометрична прогресия, подреден списък от числа. Когато става въпрос за геометрични редове, или аналогът на това, това е сумата от тези членове ето тук. Значи това ще бъде 2 + 6 + 18 + 54. Можем да го запишем в същия вид, в който записахме примера с нашите спестявания това е 2 + 2 по 3, плюс 2 по 3^2, плюс 2 по 3^3. Така при геометричния ред, имаме сума, като всеки следващ член е израз, равен на..., ако ги подредим всичките, ще бъде равен на члена преди него, по някаква фиксирана стойност. Значи вторият член е равен на първия член по 3, и събираме членовете. В редицата членовете просто си стоят тука, тя е подреден списък, така да се каже, но всъщност тук събираме подреден списък. Това, което видяхме в този пример, е, първо – какво е геометричен ред, но също така това е популярен пример, който показва с какво са полезни, като това е само бегло навлизане в темата. Ако решиш да се занимаваш с финанси или с бизнес, ще видиш, че геометричните редове се срещат навсякъде.