Текстови задачи с геометрична прогресия: люлееща се маймуна

Дадено е, че една маймунка се люлее на едно дърво. На първото залюляване тя описва дъга от 24 метра. С всяко следващо залюляване тя изминава дъга, чиято дължина е 1/2 от дължината на предишното залюляване. Какво се случва тук? Нека това да е върхът на въжето, или лианата, с която маймунката се люлее. На първото залюляване – искам да нарисувам тук една малка маймунка – това е нашата малка маймунка. На първото залюляване маймунката изминава 24 метра. Може би нещо такова. Това е дъга с дължина 24 метра, а после на второто залюляване – тя отново описва дълга, но тя е с дължина половината от предишното залюляване. После се връща обратно и отново изминава половината от дължината, и може би изминава ето това разстояние. При следващото – значи това е 12 метра, а после следващото залюляване е половината от предходното, значи ще бъде 6 метра. И тя продължава да се люлее така, което е логично. Това съответства на нашия опит за люлеене от дървета, за тези от нас, които са го правили. Да видим първият въпрос. Кой израз ни дава цялото разстояние, което маймунката изминава при първите n залюлявания? Спри видеото и виж можеш ли да отговориш, като можеш да го изразиш като – всъщност може да се изрази по два начина, изрази го като геометричен ред, но също и като сума от геометричния ред, ако действително го изчислим. Сега да го решим заедно. Вече казахме, че при първото залюляване маймунката изминава 24 метра. При второто залюляване – аз ти подсказах, когато казах, да го изразиш като геометричен ред – тя изминава половината от това разстояние. Можем да запишем, че тук е 12, но това, че е половината, е интересно. Защото това е нашето частно за геометричния ред. При всяко следващо залюляване дължината на дъгата е половината от дължината на дъгата на предишното. Значи това ще е 24 по 1/2, а после за следващото залюляване ще бъде 24... ще бъде половината от това. Значи ще е 24 по 1/2 по 1/2. Това е 24 по (1/2)^2. Това са първите три залюлявания. Обърни внимание на степенния показател тук – това е втора степен. На първите n залюлявания ще получим 24 по 1/2... обаче няма да е на степен n, а ще бъде на степен (n – 1). Обърни внимание, че след две залюлявания получаваме 24 по 1/2 на 1-ва степен. След 3 залюлявания имаме на втора степен. Значи след n залюлявания е на степен (n – 1). Както казах, ние не търсим просто този израз. Всъщност ние искаме да видим как да сметнем това. Начинът, по който ще го пресметнем, е като погледнем формулата, която обяснихме и доказахме в други видео уроци, формулата за сумата на краен геометричен ред. Тя ни казва, и аз ще я запиша ето тук, че сумата от първите n члена е равна на а, като а е първият член, в нашия случай това е 24, равно е на а минус а по частното, като вече определихме, че частното е 1/2, частното на степен n. Един начин, по който аз запомням това, е, че това е първият член, минус първият член, който не включваме, или минус това, което щеше да е членът след този. Всичко това върху 1 минус частното. Може да го срещнеш записано и по различен начин. Можеш да изнесеш а пред скоби, и тогава ще видиш следното: а по (1 – r^n), цялото това върху (1 – r), двете са еквивалентни. Но сега ще използваме първият вид. Това ще е равно на – всъщност ще използвам втория вид ето тук. Значи първият член "а" е 24. Ще имаме 24 по 1 минус общото частно, което е 1/2, на степен n, като ни интересуват първите n залюлявания, така че ще оставя тук n. Цялото това е върху 1 минус частното, 1 – 1/2. Можем да го оставим така, или можем да го опростим малко, ако искаме. 1 – 1/2 е равно на 1/2, 24 делено на 1/2 е 48, така че ако искаме, можем да го опростим като 48 по (1 – 1/2)^n. И двете са допустими отговори. Да видим втория въпрос: Какво е общото разстояние, което маймунката е изминала, когато завършва 25-ото залюляване? Казват ни да закръглим отговора си до най-близкия метър. Спри видеото и опитай да решиш това самостоятелно. Добре, можем просто да използваме този израз ето тук. Знаем, че имаме 25 залюлявания. Значи n е 25 и просто тук заместваме 25. Това е равно на 48 по (1 – 1/2) на степен 25. Това ще е много, много малко число. Резултатът ще е много близък до 48 метра, но да го сметнем. Ще закръглим до най-близкия метър. Ще взема калкулатора. Просто да сметнем 1/2, което ще въведа като 0,5, на степен 25. Това е, както очаквах, много малко число. След това ще го извадим от 1, така че тук просто слагам знак минус и добавям 1. Резултатът е много близък до 1. Предсказанието ми се оказа вярно. Ако умножим това по 48, ако закръглим до най-близкия метър, получаваме 48 метра. Значи отговорът е 48 метра. И сме готови.