Решен пример: сума от членове на геометрична прогресия

От нас се иска да намерим сумата на първите 50 члена на тази прогресия, като може веднага да разпознаеш, че това е геометрична прогресия. Придвижвайки се от един член на следващия, какво правим? Умножаваме по 10/11, за да отидем от 1 до 10/11, умножаваме по 10/11, след това отново умножаваме по 10/11, и продължаваме така, като се иска да намерим първите 50 члена на прогресията. Можем да приложим формулата, която получихме за сумата на крайна геометрична прогресия, като това ни показва, че сумата от – в този случай първите 50 члена. Всъщност нека го запиша тук отдолу. Сумата на първите 50 члена ще бъде равна на първия член, който е 1, ще бъде 1 по 1 минус – нека го напиша с друг цвят – 1 по (1 минус частното на прогресията). Частното тук е 10/11. 10/11 на степен 50, на степен броя членове, които имаме, цялото това върху (1 минус частното на прогресията). Няма да го решавам изцяло, но можем да го опростим малко. Това ще бъде 1 минус, ще поставя тук скоби, просто за да съм сигурен, че не повдигаме само 10 на степен 50. 1 минус 10/11 на степен 50 върху, това е 11/11 минус 10/11 е 1/11, така че това е същото като да умножим числителя по 11. Следователно това ще бъде равно на 11 по (1 минус 10/11 на степен 50). Като можеш да опиташ да го опростиш дори още повече, но това е достатъчно на този етап. Имаме просто изчисления. Нека решим още една от тези. В известен смисъл е забавно. Тази сума е много по-ясно, че е на геометрична прогресия. Нека първо помислим от колко члена ще изчисляваме сумата. Може да се изкушиш да кажеш: "Добре, повдигам последния член на степен 79, така че трябва да имаме 79 члена тук", но внимавай много, защото при първия член повдигаме на нулева степен, повдигаме 0,99 на нулева степен. При втория член повдигаме на първа степен, при третия член повдигаме на втора степен, четвъртия член го повдигаме на трета степен и така нататък, и така нататък. Така че това тук е 80-ият член. Искаме да намерим S от 80, така че това ще бъде равно на – първият член ще бъде 1 по (1 минус частното на прогресията на степен 80), цялото върху – ще го оставя празно, защото все още не съм намерил частното на прогресията, цялото върху (1 минус частното на прогресията). Отначало може да кажеш, че може би частното на прогресията тук е 0,99, но забележи, че тук имам промяна в знаците. Ключовият момент е да кажеш, като отиваме от един член на следващия по какво умножаваме? За да отидем от първия до втория член, умножаваме по минус 0,99. Умножаваме по минус 0,99. За да отидем до следващия, отново умножаваме по минус 0,99, така че частното на прогресията не е плюс 0,99, а минус 0,99. Нека го запиша, минус 0,99, като разбира се това ще бъде на степен 80, цялото върху (1 минус -0,99). Можем да го опростим малко, това цялото ще бъде равно на, не трябва да се притесняваме твърде много за тази единица, това ще бъде 1 минус, минус 0,99 на степен 80. Би трябвало да поставя скоби там, за да се уверя, че повдигаме (минус 0,99) на степен 80. Повдигаме го на четна степен, така че то ще бъде положително. Това ще бъде същото като 0,99 на степен 80, цялото върху – изваждаме отрицателно, така че просто ще прибавим положително, цялото върху 1,99. Можем да се опитаме да го опростим още, но ако имах калкулатор, можеше всъщност да намерим точната стойност или близка до нея, защото повечето калкулатори не дават точната стойност, когато повдигаш нещо на степен 80. Но това е сумата, която ще имаме. Нека решим още една от тези задачи. Тук имаме сума на рекурентно зададена прогресия, като е от полза просто да помислим как всъщност ще изглежда. Първият член е 10, а следващият член, вторият член, 'а' с индекс 2, е равен на 'а' с индекс 1 по 9/10, нали? Следващият член ще бъде предходният член по 9/10, така че ще имаме 10 по 9/10. Следващият член ще бъде това по, ще бъде вторият член, третият член е вторият член по 9/10, така че имаме 10 по (9/10 на квадрат). Като начинът, по който го пиша сега, няма нужда да го пишем като сума на крайна геометрична прогресия. Нека кажем, че искаме да изчислим сумата, търсим сумата на първите, не знам, 30 члена. Сумата на първите 30 члена. Колко ще бъде тя? Ще имаме S от 30. О, написах 10. S от 30, сумата от първите 30 члена ще бъде равна на първия член, правили сме го и преди, първия член по (1 минус частното на прогресията на степен 30), цялото върху (1 минус частното на прогресията). Нека видим дали можем – 1 минус 9/10, това тук е 1/10. Разделяш на 1/10, това е същото като умножаване по 100, така че това ще бъде 100 по (1 минус 9/10 на степен – нека го напиша по този начин –9/10 на степен 30). Всъщност винаги ще искаме да поставяме скоби там, за да сме сигурни, че повдигаме и двете – и 9, и 10 – или 9/10, цялото нещо на 30 степен, а не само 9, така че ето. Готови сме.