Въведение към разлагане на многочлени от по-висока степен

Откакто започнахме заедно да изучаваме алгебра, първо учихме как се разлагат многочлени, по-точно такива от втора степен. Разпознавахме, че израз от вида х^2 може да се запише като х по х. Също така разпознавахме, че в многочлен като 3х^2 + 4х, двата члена съдържат х, който е общ множител, и можем да го изнесем пред скоби, така че можем да представим израза като х (3х + 4). Учихме да правим и по-интересни неща. Научихме се да разлагаме изрази като х^2 + 7х + 12. Търсехме кои две числа имат сбор 7, а произведението им е 12, като в тези първи уроци показахме защо този метод работи, казвахме: 3 и 4, може би можем да ги разложим като (х + 3) по (х + 4). Ако тези неща са ти непознати, те насърчавам да преговориш някои от въвеждащите уроци за разлагане на квадратни изрази в Кан Академия. На този етап това би трябвало вече да го знаеш. Също така разглеждахме разлика на квадрати. х^2 – 9. Казваме: "Това е х^2 минус 3^2, значи можем да го разложим като (х + 3) по (х – 3). Разглеждахме и други типове многочлени от втора степен. Сега, когато напредваме с изучаването на алгебрата, ще надградим върху тези знания, за да разлагаме полиноми от по-висока степен. Трета степен, четвърта степен, пета степен, което ще е много полезно в твоята математическа кариера. Ще започнем, като разгледаме някои структури, някои модели, които познаваме от началната алгебра. Например, ако някой те срещне на улицата и каже: "Можеш ли да разложиш х^3 + 7x^2 + 12х?" Ти първо може да му отговориш, че това е полином от трета степен, което изглежда доста трудно. докато не осъзнаеш, че всички тези членове съдържат общ член х, който можеш да изнесеш пред скоби и тогава това става х по (х^2 + 7х + 12). После, това е точно същото като това, което видяхме ето тук, така че можем да представим този израз като х по (х + 3) (х + 4). Ще видим, че можем да правим прости разлагания като това, и даже можем да разлагаме по няколко пъти. Можем също да започнем да използваме формули, които ни връщат назад към встъпителната алгебра. Например, може да видиш израз като този, когато отново някой те среща на улицата и ти казва: "Разложи израза а на 4-та степен плюс 7 по а^2 плюс 12". и първо се чудиш: "Леле, тук има четвърта степен, какво може да се направи?" Но после казваш: "Чакай, ами ако преработя този израз като (а^2)^2 плюс 7а^2 + 12!" Сега това а^2 много прилича на това х ето тук. Ако това беше х, тогава това щеше да е х^2. Ако това беше х, това щеше да е просто х. И тогава тези изрази са съвсем еднакви. След като изнесем това пред скоби, навсякъде, където има х, можем да заместим с а^2. Можем да изнесем това пред скоби и то ще бъде същото като тук, където имаме (а^2 + 3) по (а^2 + 4). Аз бързам доста, но това всъщност е въвеждащо видео, едно обзорно видео. Не се притеснявай, ако ти се струва твърде бързо. Искам просто да ти дам поглед към нещата. По-късно в този раздел ще се задълбочим във всеки от тези случаи. Но само за да ти дам представа какво ще правим, ще ти дам още един пример, който надгражда това, което видяхме във въвеждащите уроци по алгебра. Надграждаме над тези формули, и ако някой отново те срещне, много хора те срещат, и ти каже: "Разложи 4х^6 – 9у^4." Отначало това изглежда супер сложно, докато не се сетиш: "О, аз мога да запиша тези двете като квадрати. Мога да ги запиша първия член като (2х^3)^2 минус... втория член мога да представя като (3у^2)^2." И това сега е просто разлика на квадрати. Ще стане (2х^3 + 3y^2) по (2х^3 – 3y^2). Ще срещнем също изрази, в които ще разлагаме многократно. Отново, среща те някой на улицата, защото ти си много популярна личност, среща те някой на улицата и ти казва: "Разложи х^4 – y^4." Въз основа на това, което току-що видяхме, можеш да осъзнаеш, че това е същото нещо като (х^2)^2 – (y^2)^2. И тогава казваш: "О, това е разлика на квадрати, същото като тази разлика на квадрати." Това ще бъде сборът на х^2 и y^2, (х^2 + y^2), по тяхната разлика, x^2 – y^2. Това е интересно, защото това също е разлика на квадрати. Значи можем да преработим целия израз като – ще препиша тази първа част: х^2 + y^2, а после ще представя втората част като разлика на квадрати, точно както направихме ето тук горе. Получаваме (х + у) по (х – у). Ще спра дотук. Затрупах те с толкова много информация, но това наистина е само като подготовка. Не се стресирай, защото ще навлезем в дълбочина във всеки от тези примери и тогава ще има много възможности да се упражняваш в Кан Академия, за да се увериш, че разбираш добре откъде идва всичко това. Заповядай!