Описване на числови зависимости с тъждества с многочлени

В това видео ще използваме нашите знания за многочлените и как можем да оперираме с тях, като ще разгледаме дали два многочлена са равни помежду си за всички стойности на променливата, която съдържат, което означава, че това са два тъждествено равни многочлена. Ще използваме уменията си, за да докажем някои свойства на зависимостите между числата. Ако направя списък с цели числа, нека да включва 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ако изброя квадратите на тези числа, ако направим списък с квадратите на цели числа, 0 на квадрат е 0, 1 на квадрат е 1, 2 на квадрат е 4, 3 на квадрат е 9, 4 на квадрат е 16, 5 на квадрат е 25. Можем да продължим и двата списъка. Първото нещо, над което искам да помислим, преди още да запишем някакъв многочлен, или да опитаме да конструираме многочлен, е да разгледаме редицата от квадратите на целите числа. Виждаш ли някаква закономерност, свързана с разликата между съседните членове в тази редица с квадрати на цели числа? Да помислим заедно върху това. За да отидем от 0 до 1, прибавяме 1. За да отидем от 1 до 4, прибавяме 3. От 4 до 9 прибавяме 5. От 9 до 16 прибавяме 7. Това прилича на закономерност. Когато отиваме от един член към неговия съседен в тази редица от квадрати на цели числа, добавяме все по-големи нечетни числа. Предполагам, че ако тук прибавя 9, което е следващото нечетно число, ще получа 25, и това е точно така. Можеш да провериш това. Ако добавим 11, което е следващото нечетно число, колко ще получим? Получаваме 36, което е квадратът на 6. Как да сме сигурни, че това винаги е изпълнено, че винаги е вярно? Единият начин да го направим, е да разгледаме общия случай, а точно тук знанията ни по алгебра и знанията ни за многочлените ще ни бъдат от полза. Да кажем, че отидем чак... като разглеждаме общия случай. Нека имаме числото n, а следващото число след него е числото (n + 1). Тогава, ако потърсим кой е съответният член от редицата с квадрати на цели числа, това ще бъде – повдигаме на квадрат – когато числото е n, неговият квадрат е n^2. Следващото число е (n + 1), а квадратът му е (n + 1)^2. Да видим дали можем да намерим разликата на тези две числа. Разликата между 25 и 16 е 9. Разликата между 16 и 9 е 7. Да помислим каква ще бъде разликата между (n + 1)^2 и n^2. Как можем да запишем това като многочлен? Това е (n +1)^2 – n^2. Да видим можем ли да преработим този израз, да го преработим алгебрично, така че да съставим равенство на многочлени, което описва модела, който току-що видяхме. Сега просто ще разкрия скобите за (n + 1)^2. Това е равно на n^2 + 2n + 1. После имаме това минус n^2, така че минус n^2. Тук n^2 и –n^2 се унищожават. Можем да представим всичко, което остава, като (n + 1)^2 минус n^2... Това всъщност е разликата между два съседни члена на редицата от квадрати на целите числа, която е равна на 2n + 1 за всяко цяло число n. За произволно цяло число n, колко ще бъде 2n + 1? Особено тук, където имаме положителни цели числа. За всяко цяло число n това ще бъде нечетно цяло число. Умножаваме произволно цяло число n по 2, тази част ще е четна. После добавяме 1, и получаваме нечетно цяло число. Виждаме също, че това се увеличава с 2, когато се увеличава n. Когато тръгваме от едно нечетно число, добавяме две към следващото нечетно число. Добавяме 2 към следващото нечетно число, което е точно това, което описахме ето тук. Така че това е много интересно. Просто използвахме малко алгебрични преобразувания, част от нашите знания за равенства на многочлени, за да покажем, че разликата между съседните членове на редицата от квадрати на целите числа ето тук представлява нарастващи нечетни числа.