Въведение към поведение в краищата на полиноми

В това видео искам да поговорим малко за граничното поведение на полиномите. Това всъщност е просто какво се случва с един полином, когато х става много голямо или много, много, много отрицателно. Запознати сме с квадратните полиноми, където у = ах^2 + bx + c Знаем, че ако 'а' е по-голямо от 0, това ще е някакъв вид парабола, отворена нагоре. Графиката на тази функция ще изглежда подобно на това. И ако 'а' е по-малко от 0, това ще е отворена надолу парабола. Отделихме по-малко време на полиноми от трета степен, но сме виждали и тях. Например ако имаш полином от трета степен, у = ах^3 + bx^2 + сх + d, ако 'а' е по-голямо от 0... не искам да използвам този кафяв цвят. Ако 'а' е по-голямо от 0, когато х е много, много, много отрицателно, цялото това нещо ще е много, много, много отрицателно. И след това ще нараства, когато х става по-малко отрицателно. Ще направи нещо – може да направи нещо забавно междувременно. Но после, когато х става все по-положително, това също ще става все по-положително. Може да изглежда подобно на това, когато 'а' е по-голямо от 0. Но какво става, когато 'а' е по-малко от 0? Тогава, точно както тук, ще обърнем графиката. Ще я обърнем, така че ако 'а' е по-малко от 0, когато х е много отрицателно, тогава ще умножиш това по отрицателно 'а' и ще получиш положителна стойност. Това ще изглежда горе-долу така. И после ще продължи ето така. Може да направи нещо подобно междувременно. Но после, граничното му поведение започва отново да намалява. Започва да намалява. Когато говорим за гранично поведение, говорим за идеята каква е тази функция. Какво прави този полином, когато х става много, много, много положително и когато х става много, много, много, много отрицателно? Един вид осъзнаваме, че някои странни неща може да се случат по средата. Но просто искаме да помислим за това какво се случва при екстремни стойности на х. Сега, очевидно, за полином от втора степен нищо странно не се случва по средата. Но за един полином от трета степен, донякъде виждаме, че някои интересни неща могат да започнат да се случват по средата. Но граничното поведение за полином от трета степен е: ако 'а' е по-голямо от 0 – започваме с много, много ниски стойности – и когато 'а' става положително, стигаме до много големи стойности. Ако 'а' е по-малко от 0, имаме обратното. И това са един вид двата първообраза на полинома. Понеже оттам можем да започнем да мислим за полином от която и да е степен. Нека помислим за ситуацията с полином от четвърта степен. Да кажем, че у е равно на а по х на четвърта, плюс b по x на трета, плюс с по х на квадрат, плюс dx – не искам да пиша 'е', понеже 'е' има други значения в математиката. Ще кажа плюс – свършват ми буквите. Просто ще използвам f, въпреки че това не е функцията f, това е просто константа f. Нека помислим как може да изглежда това. Нека помислим за граничното поведение и можем да помислим за това по отношение на полином от втора степен. Граничното му поведение, ако х е много, много, много отрицателно, х на четвърта все още ще е положително. Ако 'а' е по-голямо от 0, когато х е много, много, много отрицателно, тогава ще имаме много, много положителни стойности, точно както при втора степен. И когато х е много положително, отново същото нещо. х на четвърта степен ще е положително, по 'а', все още ще е положително. Тоест граничното поведение ще изглежда много подобно на полином от втора степен. Сега, това може да – всъщност вероятно ще направи нещо забавно междувременно. Може да направи нещо подобно междувременно. Но нас ни интересува граничното поведение. Предполагам, че можеш да наречеш това, което начертах с пунктирана линия по средата, това се нарича "негранично" поведение, средно поведение. Това очевидно ще е по-различно от полином от втора степен. Но в краищата ще се случва същото. Причината за това е, че когато повдигнеш нещо на квадрат или когато повдигнеш нещо на четвърта степен, повдигаш нещо на която и да е четна степен за много голямо 'а' – докато 'а' е по-голямо от 0, за много големи положителни стойности, ще получиш положителни стойности. А за много големи отрицателни стойности ще получиш много големи положителни стойности. Взимаш едно отрицателно число, повдигаш го на четвърта степен или на втора степен и ще получиш положителна стойност. По същия начин, ако 'а' е по-малко от 0, тогава ще имаш много подобно гранично поведение на това в този случай. За един полином, където членът от най-висока степен е четен – тоест това е 'а' е по-малко от 0 – граничното поведение, когато 'а' е много, много, много отрицателно, това нещо ще е много, много, много положително. Ще го умножаваме по отрицателно, така че ще е много, много, много, много отрицателно. Така че ще изглежда като това. И подобно, когато х е много, много, много положително, получаваш същото нещо. Понеже ще умножаваш положително по 'а', което е отрицателно, и междувременно то може да направи нещо подобно. Но граничното поведение, както виждаш, е много подобно на полином от втора степен. Ако игнорираш това, граничното поведение е много подобно. Същото е вярно за пета степен, ако го сравниш с трета степен. И общата идея тук е какво се случва с тази стойност, когато имаме много големи х или много малки х? И го повдигаме на четна степен? В който случай за много отрицателни стойности, или много положителни стойности, ще получим положителни стойности. И после това зависи от коефициента ни. Или го повдигаме на нечетна степен? Цялостната идея – и всъщност нека направя пета степен, просто за да поясня. Ако имах нещо от вида у е равно на а по х на пета, плюс b по x на четвърта плюс – и т.н. – дори не трябва да го пиша. Това нещо, ако 'а' е по-голямо от 0, това ще изглежда горе-долу така. Граничното поведение е много подобно на полином от трета степен, където 'а' е по-голямо от 0. И в края ще направи това. Може да направи нещо шантаво като това. Трябва да направя това правилно. 1, 2, 3 – може да направи нещо шантаво междувременно. Но после, за много големи х ще изглежда по същия начин като а по х на трета степен, когато 'а' е по-голямо от 0. Отново, много, много подобно гранично поведение, когато 'а' е по-голямо от 0, и много подобно гранично поведение, когато 'а' е по-малко от 0. Ще изглежда ето така. И в краищата при една отрицателна стойност това ще е положително, понеже тази част ще е много отрицателна. Но после ще е умножено по отрицателна стойност, за да получим положителна. А за много положителни стойности на х, това ще е отрицателно. Понеже, този член 'а' ще е отрицателен. И после какво прави междувременно – поне за целта на това видео – не мислим за това. Най-важното за запомняне тук – и това е последна фаза тук, говорим за гранично поведение – ако гледаш полином от четна степен, той ще има гранично поведение като полином от втора степен. Ако игнорираш това, което се случва по средата, при много отрицателни стойности на х и много положителни стойности на х, ще е много подобно на полином от втора степен. И ако степента е нечетна, тогава ще имаш много подобно гранично поведение на полином от трета степен. Може да направи множество шантави неща по средата, но за дадено 'а', без значение дали е по-голямо от 0, или по-малко от 0, ще имаш ето такова гранично поведение или гранично поведение като това.