If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Графики на многочлени

Анализиране на многочлени, за да скицираме графиките им.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Граничното поведение на една функция f описва поведението на графиката ѝ в "краищата" на оста x. Алгебрично граничното поведение се определя от следните два въпроса:
  • Когато x+, към какво клони f(x)?
  • Когато x, към какво клони f(x)?
Ако това е ново за теб, препоръчваме да видиш статията ни за гранично поведение на полиномите.
Нулите на една функция f съответстват на пресечните точки на нейната графика с оста x. Ако функцията f има нула от нечетна кратност, графиката ѝ ще пресича оста x в тази x стойност. Ако f има нула от четна кратност, графиката ѝ ще докосва оста x в тази точка.
Ако това е ново за теб, препоръчваме да видиш статията ни за нули на полиноми.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще използваме горните характеристики, за да анализираме и скицираме графиките на полиномите. После ще използваме скиците, за да намираме интервалите, в които полиномите са положителни или отрицателни.

Анализиране на функциите на полиномите

Сега ще анализираме няколко характеристики на графиката на полинома f(x)=(3x2)(x+2)2.

Намиране на пресечната точка с оста y

За да намерим пресечната точка с оста y на графиката на f, трябва да намерим f(0).
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3(0)2)(0+2)2f(0)=(2)(4)f(0)=8
Пресечната точка с оста y на графиката на y=f(x) е (0;8).

Намиране на пресечните точки с оста x

За да намерим пресечните точки с оста x, трябва да решим уравнението f(x)=0.
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2
3x2=0илиx+2=0Правило за умножение с нулаx=23илиx=2
Пресечните точки с оста x на графиката на y=f(x) са (23;0) и (2;0).
Анализът ни показва също, че 23 е нула с кратност 1 и 2 е нула с кратност 2. Това означава, че графиката пресича оста x в точка (23;0) и докосва оста x в (2;0).

Определяне на граничното поведение

За да намерим граничното поведение на една функция, можем да разгледаме водещия член, когато функцията е представена в нормален вид.
Нека запишем уравнението в нормален вид.
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8
Водещият член на полинома е 3x3, така че граничното поведение на функцията f ще е същото като граничното поведение на члена 3x3.
Тъй като степенният показател е нечетен и водещият коефициент е положителен, граничното поведение ще е: когато x+ тогава f(x)+ и когато x тогава f(x).

Скициране на графика

Можем да използваме това, което установихме по-горе, за да скицираме графиката на y=f(x).
Нека започнем с граничното поведение:
  • Когато x+, тогава f(x)+.
  • Когато x, тогава f(x).
Това означава, че в "краищата" графиката ще изглежда като графиката на y=x3.
Сега можем да добавим това, което знаем за пресечните точки с оста x:
  • Графиката докосва оста x в точка (2;0), тъй като 2 е нула с четна кратност.
  • Графиката пресича оста х в точка (23;0), тъй като 23 е нула с нечетна кратност.
Накрая ще завършим този процес, като нанесем пресечната точка с оста y в точката (0;8) и запълним празнините с равна, непрекъсната крива.
И въпреки че не знаем точно къде са повратните точки, все пак имаме добра идея за цялостната форма на графиката на функцията!

Интервали с положителни и отрицателни стойности на функцията

Сега, когато имаме скица на графиката на f, можем лесно да определим интервалите, в които стойностите на функцията f са положителни, и тези, в които са отрицателни.
Виждаме, че стойностите на функцията f са положителни, когато x>23, и отрицателни, когато x<2 или 2<x<23.

Провери знанията си

1) Опитай да скицираш самостоятелно графиката на функцията g(x)=(x+1)(x2)(x+5).
a) Коя е пресечната точка с оста y на графиката на функцията g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
(0;
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
)

б) Какво е граничното поведение на графиката на g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Избери един отговор:

в) Кои са пресечните точки с оста x на графиката на g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Избери един отговор:

г) Коя от следните графики може да бъде графиката на g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Избери един отговор:

2) Кое от следните може да е графиката на y=(2x)(x+1)2
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.