Основно съдържание

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 5

Урок 2: Положителни и отрицателни интервали на многочлени

Положителни и отрицателни интервали на полиноми

Научи за връзката между нулите на полиномите и интервалите, в рамките на които, те са положителни или отрицателни.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Нулите на полинома f отговарят на пресечните точки на графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis и оста x.

Дадено е f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Тъй като нулите на функцията f са minus, 3 и 1, графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ще пресича оста x в точките left parenthesis, minus, 3, ;, 0, right parenthesis и left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis.

Ако това е ново за теб, препоръчваме да погледнеш нашата статия за нули на полиноми.

Какво ще научиш в този урок

Макар пресечните точки с оста x да са важна характеристика на графиката на една функция, имаме нужда от повече, за да направим добър чертеж.

Да знаем знака на една полиномна функция между две нули може да ни помогне да запълним някои пропуски.

В тази статия ще научим как да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, и как да свържем това с графиката.

Интервали с положителни и отрицателни стойности на функцията

Знакът на един полином между всеки две последователни нули е или винаги положителен, или винаги отрицателен.

[Защо?]

Например помисли върху графиката на функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

От графиката виждаме, че f, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги...

...отрицателна, когато minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
...положителна, когато minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
...отрицателна, когато 1, is less than, x, is less than, 3.
...положителна, когато 3, is less than, x, is less than, infinity.

Не е задължително една полиномна функция да променя знака си между нулите.

Например, разгледай графиката на функцията g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

От графиката виждаме, че g, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги...

...отрицателна, когато minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
...отрицателна, когато minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
...положителна, когато 0, is less than, x, is less than, infinity.

Забележи, че g, left parenthesis, x, right parenthesis не променя знака си около x, equals, minus, 2.

Определяне на интервалите, в които стойностите на полинома са положителни или отрицателни

Нека намерим интервалите, в които полиномът f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared е положителен, и интервалите, в които е отрицателен.

Нулите на f са minus, 3 и 1. Това създава три интервала, в които знакът на f не се променя:

Нека намерим знака на f в интервала minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Знаем, че f ще е или винаги положителна, или винаги отрицателна в този интервал. Можем да определим кое от двете е като пресметнем f за една стойност в този интервал. След като minus, 4 е в този интервал, нека намерим f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.

Понеже ни интересува само знака на полинома, не е нужно напълно да го изчисляваме:

\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2 \\\\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&{\gray{\text{Определяме само знака на отговора.}}} \\\\ &=(-)(+)&&{\gray{\text{Минус на квадрат дава плюс.}}} \\\\ &=-&&{\gray{\text{Минус по плюс дава минус.}}} \end{aligned}

Тук виждаме, че f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis е отрицателно, така че f, left parenthesis, x, right parenthesis винаги ще бъде отрицателна в интервала minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Можем да повторим процеса за останалите интервали.

[Може ли да видя това, моля?]

Резултатите са обобщени в таблицата по-долу.

Интервал	Стойността на конкретна стойност на f, left parenthesis, x, right parenthesis в интервала	Знак на f в интервала	Връзка с графиката на f
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3	f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0	отрицателен	Под x-оста
minus, 3, is less than, x, is less than, 1	f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than	положителен	Над x-оста1, is less than, x, is less than, infinity	f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0	положителен	Над x-оста

Това съответства на графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Провери знанията си

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis има нули за x, equals, minus, 6 и x, equals, minus, 1.

Какъв е знакът на функцията g в интервала minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?

(Избор А)
g, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги положителна в интервала minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Избор Б)
g, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги отрицателна в интервала minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Избор В)
g, left parenthesis, x, right parenthesis е и положителна, и отрицателна в интервала minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis има нули в x, equals, minus, 5, x, equals, 2 и x, equals, 3.

Какъв е знакът на функцията h, left parenthesis, x, right parenthesis в интервала minus, 5, is less than, x, is less than, 2?

(Избор А)
h, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги положителна в интервала minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Избор Б)
h, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги отрицателна в интервала minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Избор В)
h, left parenthesis, x, right parenthesis е и положителна, и отрицателна в интервала minus, 5, is less than, x, is less than, 2.

Задача с повишена трудност

3*) Кое от следните може да бъде графиката на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed?

Определяне на интервалите с положителни и отрицателни стойности от скицираната графика

Друг начин да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, е да начертаем графиката му и да разгледаме поведението в краищата на интервала и кратността на нулите му.

Виж статията за графики на полиноми за допълнителна информация.

Сортирай по:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.