Основно съдържание

Курс: Алгебра 2 > Раздел 5

Урок 2: Положителни и отрицателни интервали на многочлени

Нули на многочлени и техните графики

Научи каква е връзката между даден многочлен и неговите нули, корени и ординатите на пресечните точки на графиката му с оста x. Научи за кратността на нулите на многочлен.

Какво ще научиш в този урок

Когато изучаваш многочлените, често ще чуваш термините нули, корени, множители и пресечна точка с оста

x

В тази статия ще проучим тези характеристики на многочлените и специалните отношения, които имат те помежду си.

Фундаментални връзки за полиномни функции

За един многочлен

f

и едно реално число

k

са еквивалентни следните твърдения:

$x = k$ ‍ е корен или решение на уравнението $f (x) = 0$ ‍
$k$ ‍ е нула на функцията $f$ ‍
точката $(k; 0)$ ‍ е пресечната точка на графиката на функцията $y = f (x)$ ‍ с оста $x$ ‍
$x - k$ ‍ е линеен множител на $f (x)$ ‍

Да вземем като пример многочлена

g (x) = (x - 3) (x + 2)

, който може да се представи и като

g (x) = (x - 3) (x - (- 2))

Виждаме, че линейните множители на многочлена

g (x)

са

(x - 3)

(x - (- 2))

Ако вземем

g (x) = 0

и намерим стойността на

x

, получаваме, че

x = 3

или

x = - 2

. Това са решенията или корените на уравнението.

Нула на една функция е такава стойност на променливата

x

, за която стойността на функцията е

0

. След като знаем, че

x = 3

x = - 2

са решения на

g (x) = 0

, тогава

3

- 2

са нули на функцията

g

Пресечната точка с оста

x

на графиката на

y = g (x)

удовлетворява уравнението

0 = g (x)

, което беше решено по-горе. Пресечните точки с оста

x

за уравнението са

(3; 0)

(- 2; 0)

Провери знанията си

1) Кои са нулите на $f (x) = (x + 4) (x - 7)$ ‍?

2) Графиката на функцията $g$ ‍ пресича оста $x$ ‍ в точката $(2; 0)$ ‍. Колко е коренът на уравнението $g (x) = 0$ ‍?

x =

3) Нулите на функцията $h$ ‍ са $- 1$ ‍ и $3$ ‍. Коя от следните функции е $h (x)$ ‍?

Нули и кратност на нулите

Когато един линеен множител се среща повече от веднъж в разложения вид на един многочлен, можем да определим кратността на съответната нула.

Например в многочлена

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

числото

4

е $д в у к р а т н а$ ‍ нула.

Забележи, че когато разложим

f (x)

, множителят

(x - 4)

е записан

2

пъти.

f (x) = (x - 1) (x - 4) (x - 4)

Това означава, че когато решиш уравнението

f x) = 0

, ще получиш корен

x = 4

два пъти.

\begin{aligned} 0 & = (x - 1) (x - 4) (x - 4) \\ x - 1 = 0 x - 4 = 0 x - 4 = 0 \\ x = 1 x = 4 x = 4 \end{aligned}

По същество, ако

x - k

се появява

m

пъти при разлагането на множители на един многочлен, то

k

е нула с кратност

m

. Нула с кратност

2

се нарича двукратна нула.

Провери знанията си

4) Коя нула на $f (x) = (x - 3) (x - 1)^{3}$ ‍ има кратност $3$ ‍?

5) Коя нула на $g (x) = (x + 1)^{3} (2 x + 1)^{2}$ ‍ е двукратна нула?

Графично представяне

Кратността на една нула е важна, понеже ни показва какво поведение има графиката на многочлена около нулата.

Обърни внимание, че графиката на

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

се държи по-различно около нулата

1

, отколкото около нулата

4

, която е двукратна нула.

По-точно графиката пресича оста

x

x = 1

, но само докосва оста

x

x = 4

Нека разгледаме графиката на една функция, която има същите нули, но с различни кратности. Нека да разгледаме

g (x) = (x - 1)^{2} (x - 4)

. Забележи, че за тази функция

1

сега е двукратна нула, докато

4

е еднократна нула.

Сега виждаме, че графиката на

g

докосва оста

x

x = 1

и пресича оста

x

x = 4

Като цяло, ако една функция

f

има нула с нечетна кратност, графиката на

y = f (x)

ще пресича оста

x

за тази стойност на

x

. Ако функцията

f

има нула от четна кратност, графиката на

y = f (x)

ще докосва оста

x

в тази точка.

Провери знанията си

6) За графично представената функция, кратността на нулата $6$ ‍ четна ли е, или е нечетна?

7) Коя е графиката на функцията $h (x) = x^{2} (x - 3)$ ‍?

Задача с повишена трудност

8*) Коя графика съответства на функцията $f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 4 x$ ‍?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.