Кратност на нулите на многочлени

Дадени са многочлените р1 и р2. Те са представени в разложен вид, като са показани и техните графики. Графиката на у = р1(х) е в синьо, а графиката на у = р2(х) е в бяло. В това видео ще продължим да изследваме нулите на многочлените, но също така ще разгледаме и един специален случай, когато се случва нещо интересно с нулите. Първо да разгледаме нулите на многочлена р1. Тук ще направя една таблица, която може да ни е полезна. В първата колона ще бъдат нулите. Това са стойностите на х, за които многочленът е нула, които се намират много лесно, когато той е в разложен вид. Когато х е равно на 1, целият израз ще е равен на 0, защото нула по всяко друго число е нула. Когато х е равно на 2 – същата логика, както и когато х е равно на 3. Можем да видим тук на чертежа, че когато х е равно на 1, графиката на у = р1 пресича оста х. Графиката пресича оста х отново при следващата нула, х = 2, и при следващата нула, х = 3. Виждаме също така, че между две последователни нули на функцията многочленът си запазва знака. Значи между първите две нули, всъщност преди първата нула знакът му е отрицателен, после между първите две нули знакът е положителен, после между следващите две нули знакът е отрицателен, и накрая след последната нула знакът е положителен. Сега да видим многочлена р2. р2 е интересен, защото ако извършим умножението, ще бъде от същата степен като р1. И в двата случая ще имаме член, съдържащ х на трета степен, така че това е многочлен от трета степен. Но колко нули, колко различни, уникални нули има многочленът р2? Постави видеото на пауза и помисли над това. Добре, хайде да ги изброим. Нулите на многочлена р2 – отново, когато х е равно на 1, целият този израз ще е равен на нула. Значи имаме нула при х = 1, и можем да видим, че бялата графика пресича оста х при х = 1. После, когато х е равно на 3, целият израз ще бъде равен на нула, и можем да видим, че графиката пресича оста х при х = 3. После, обърни внимание, за следващата част от израза бихме казали: "О, ние имаме нула при х = 3." Но ние вече казахме това, така че всъщност имаме две нули за този многочлен от трета степен, така че тук се случва нещо много интересно. По някакъв начин това един вид подсилва ефекта на това, че имаме нула при х = –3. В този случай, когато няколко части от разложения многочлен, съответстват на една и съща нула, това представлява т.нар. кратност. Ще запиша този термин. Значи кратност. Ще го запиша тук. Ще го запиша ето тук – кратност. За всяка от тези нули имаме кратност едно. Те са получени само веднъж – когато разглеждаме разложения вид на многочлена, имаме само по един множител, който определя тези нули. Така че те всички имат кратност едно. В многочлена р2 първата нула има кратност едно, само един множител на израза определя тази нула, равна на 1, или тази стойност става нула, когато х е равно на 1. Но обърни внимание, от нашите множители, когато разглеждаме многочлена в разложен вид, този разложен израз, или множителите на нашия израз, ако мога да се изразя така, два от тях стават нула, когато х е равно на 3. Този множител и този стават нула, така че имаме кратност две. Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза отново и да разгледаш поведението на графиките, и да видиш дали забелязваш разлика между поведението на графиката, за която има кратност едно и тази, за която има кратност две. Добре, сега да разгледаме графиките заедно. Да разгледаме р1, за която всички нули имат кратност едно, и можеш да видиш, че всеки път, когато имаме нула, графиката пресича оста х. Не просто докосва оста х, а преминава от другата ѝ страна. Пресича оста х, пресича я отново, пресича я отново, така че всеки път имаме промяна на знака при тази нула. Какво се случва тук? При първата нула, при която имаме кратност едно, само единият множител става нула, но имаме и смяна на знака, точно както видяхме при р1. Но какво се случва при х = 3, където имаме кратност 2? Тук графиката докосва оста х, р(3) е нула, но обърни внимание, че нямаме смяна на знака. Многочленът е положителен преди тази точка, и е положителен след нея. Графиката докосва оста х точно тук, но после се връща обратно. И ако обобщим, като ти препоръчвам да провериш това, да помислиш дали е вярно, но когато имаме нечентна кратност – ще запиша това. Когато кратността е нечетна, т.е. ако е 1, 3, 5, 7 и т.н., тогава има смяна на знака. Знакът се променя. Обаче, когато кратността е четна, ако е 2, 4 или 6, тогава знакът не се променя. Друг начин да обясним това е, че в случай, че имаш кратност 2 – можем да използваме тази нула тук, където х е равно на три, когато х е по-малко от три, тези два множителя ще бъдат отрицателни, а отрицателно по отрицателно дава положително. Когато х е по-голямо от 3, и двата множителя са положителни, така че и в двата случая многочленът има положителна стойност. Обърни внимание – знакът не се променя. Друга особеност ще забележим, когато разгледаме броя на нулите в зависимост от степента на многочлена. Можеш да видиш, че броят на нулите е равен най-много на степента на многочлена, т.е. броят на нулите е по-малък или равен на степента на многочлена. Защо това е така? Всички нули може да имат кратност едно, като в такъв случай броят на нулите е равен на степента на многочлена. Но ако имаме нули, които имат по-висока кратност от 1, тогава ще имаме по-малко на брой различни нули. Друг начин да формулираме това е, че ако съберем всички кратности на нулите, сборът ще бъде равен на степента на полинома.