Нули на многочлени: графично изобразяване на нулите

Трябва да намерим нулите на този многочлен (полином), който са ни дали ето тук, като той е в разложен вид. Трябва да нанесем всички нули на чертежа, или пресечните точки с оста х, за този многочлен на интерактивния чертеж. Това е снимка от екрана от Кан Академия. Ако решаваш задачата на сайта на Кан Академия, трябва да кликнеш там, където трябва да са нулите, но тук аз просто ще ги нанеса на чертежа. Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно, преди да го решим заедно. Добре, сега да го решим заедно. Нулите на един многочлен са тези стойности на х, за които многочленът е равен на нула. Друг начин да разсъждаваме е да се запитаме за кои стойности на х многочленът р(х) е равен на нула. Тези стойности са нашите нули. Всъщност, трябва да се запитаме: "Кои стойности биха направили многочлена 2х по (2х + 3) по (х – 2), което е многочленът р(х), кои стойности на х ще го направят равен на нула?" Както казах в предишното видео, ако произведението на членовете е равно на нула, тогава някой от тези членове трябва да е нула, поне един от тези членове трябва да е нула, за да бъде нула цялото произведение. Например, ако 2х е равно на нула, целият израз ще е нула, значи 2х може да е равно на нула, и ако 2х е равно на нула, това означава, че х е равно на нула, което можеш да провериш. Ако х е равно на нула, тогава тази част ето тук ще е равна на нула. Няма значение каква е стойността на другите членове. Нула по нещо, по друго нещо е равно на нула. После можеш да кажеш: "А ако 2х + 3 е равно на нула?" Можем да го запишем. 2х + 3 е равно на нула, и ако това е вярно, колко ще бъде х, или колко трябва да е х, за да бъде вярно това? Изваждаме 3 от двете страни, 2х ще е равно на –3, или х е равно на –3/2. Това е друга стойност на х, за която целият многочлен е равен на нула, защото ако х е равно на –3/2, тогава (2х + 3) е равно на нула, умножаваме нула по каквато е стойността на този член и стойността на този член, и получаваме нула. И накрая, но не по значение, (х – 2) може да е равно на нула. Това ще направи цялото произведение равно на нула. За каква стойност на х изразът (х – 2) е равен на нула? Прибавяме 2 от двете страни и получаваме, че х е равно на 2. Ако х е равно на 2, тогава този израз е равен на нула, без значение каква е стойността на другите два члена. Нула по нещо, по нещо е равно на нула. По този начин определихме нулите на нашия многочлен, като причината в условието на задачата да е написано в скоби "пресечните точки с оста х" е, че това са местата, в които графиката на р(х), или можем да кажем у = р(х), на тези места графиката пресича оста х, и това е така, защото тогава стойността на многочлена е нула. Да видим, имаме х = 0, което е ето тук. Повтарям, ако решаваш примера на сайта на Кан Академия, трябва само да кликнеш ето тук и ще се появи точка. Имаме х = –3/2, това е –1/2 след –1, значи това е ето тук. После имаме х = 2, което е ето тук. Това са пресечните точки или нулите на многочлена. Това е практически полезно, защото можем да го използваме, за да построяваме графики на функции. Не знаем как точно изглежда графиката на тази функция, може би тя изглежда приблизително така, може би изглежда ето така. Можем да заместим с някои други стойности, за да добием представа, но поне знаем в кои точки графиката пресича оста х. Това са нулите на многочлена.