Построяване на графиката на логаритмична функция (пример 1)

Дадена е графиката на функцията у равно на логаритъм от х с основа 2. В задачата се иска да начертаем графиката на функцията у равно на 2 по логаритъм от (–х – 3) с основа 2. Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно. Начинът, по който да подходим, е че втората функция, чиято графика трябва да построим, всъщност се базира на първата функция, която е обект на серия от трансформации. Препоръчвам ти да вземеш милиметрова хартия и да опиташ да начертаеш как тези трансформации ще изменят оригиналната графика, за да се получи това, което ни е нужно. Добре, хайде да решим задачата заедно. Това, което вече ни е дадено като чертеж – ще го запиша с цикламено – това е у равно на логаритъм от х с основа 2. Разликата между това, което записах тук с цикламено, и това, което търсим, е в това, че в първия случай не умножаваме нищо по логаритъм от х с основа 2, докато в интересуващия ни случай умножаваме по 2. В първия случай имаме просто логаритъм от х с основа 2, докато тук имаме логаритъм от (–х –3) с основа 2. Даже можем да разглеждаме това като –1 по (х + 3). Можем да опитаме да променим този базов израз, което ще трансформира неговата графика, докато достигнем желаното от нас. Може би първото нещо, което ще направя, е да заменя х с –х. Да опитаме да начертаем у равно на логаритъм от –х с основа 2. В други уроци сме разглеждали каква трансформация ще ни даде това, но можем да се досетим и логично за това. Всяка стойност на функцията у, която тя приема за дадено х, например, когато х е равно на 4, логаритъм от 4 с основа 2 е равен на 2, като сега това ще се случи за стойността –4. Значи логаритъм от минус –4 при основа 2, това пак е логаритъм от 4 при основа 2, това е равно на 2. Ако тук поставим, да кажем... това, което се случваше преди за х = 1, логаритъм от 1 с основа 2 е равно на 0, но сега това ще се случва при –1, защото имаме минус минус 1, и ще получим 1 ето тук, така че логаритъм от 1 с основа 2 е 0. По същия начин, когато имаме х = 8, получаваме у = 3, но сега това ще се получи, когато х е равно на –8, тогава у ще е равно на 3. Следователно графиката ще изглежда приблизително така, както я чертая тук. Добре. Следващото нещо, което искам да направя, е да заместим х с (х + 3), защото това ще ни даде, поне що се отнася до това, което логаритмуваме, ще ни приближи много до оригиналния израз. Да разгледаме у равно на логаритъм с основа 2 от... всъщност ще сложа скоби в предишния пример, за да е по-ясно, значи логаритъм при основа 2, но не просто от х, а ще заместим х с (х + 3). Какво се случва, когато заместим х с (х + 3)? Можеш даже да разглеждаш (х + 3) като равно на х минус –3. Виждали сме много примери, в които като заместим х с ( х + 3), това измества цялата графика с три единици наляво. Значи това измества графиката с 3 единици наляво. Ако тук беше (х – 3), тогава щеше да измести графиката с 3 надясно. Как се измества с 3 наляво? Точката, в която достигаме нула, сега ще бъде с 3 единици наляво. Тук у беше нула, когато х е равно на –1, значи сега у ще е нула, когато х е равно на –4. Точката, в която у е равно на 2, вместо да бъде при х = –4, сега ще бъде с 3 единици наляво, т.е. когато х е равно на –7. Значи ще е ето точно тук. Точката, в която графиката отива надолу към безкрайност, това беше, когато х клони към нула, а сега ще бъде когато х е с 3 единици наляво, когато х клони към –3, така че тук ще начертая една пунктирана линия, за да покажа, че когато х клони към тази стойност, тогава стойността на у клони към нула. Значи графиката ще изглежда приблизително така, това е начертано на ръка, така че не е перфектният чертеж, но е достатъчно близо. За да стигнем от тук до нашата цел, само трябва да умножим дясната страна по 2. Сега да начертаем у, не 2, а у равно на 2 по логаритъм от –(х + 3) с основа 2, което е точно това, което искахме преди, само че изнесохме пред скоби този отрицателен знак, за да улесним трансформациите. Всичко това означава, че за всяка стойност на у, която съответства на някакво х, сега ще получим два пъти по-голямо у. Там, където у е било 0, пак ще имаме 0, но там, където у е 2, сега ще бъде равно на 4. Значи графиката ще изглежда приблизително така, както я чертая сега. И сме готови, начертахме графиката на тази функция ето тук. Повтарям отново, ако правиш това упражнение на сайта на Кан Академия, там ще има предложен отговор като този, който можеш да избереш.