Построяване на графиките на функции, съдържащи квадратен и кубичен корен

Дадена е графиката на функцията у равно на корен квадратен от х. Питат ни коя от следните графики съответства на функцията у равно на 2 по корен квадратен от (–х –1)? Дадени са няколко варианта. Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да опиташ да отговориш самостоятелно на въпроса, преди да го направим заедно. Добре, да го решим заедно. Начинът, по който смятам да подходя, е да опитам да начертая графиката на функцията 2 по корен квадратен от (–х –1). После ще разгледаме предложените отговори, за да видим кой е най-близък до моя чертеж. Начинът, по който ще направя това, е да работя стъпка по стъпка. Вече виждаме графиката на у равно на корен квадратен от х. Но сега искаме да надградим. Да кажем, че искаме да видим как изглежда графиката на у равно на корен квадратен от – вместо х под знака за корен, тук ще поставя (–х – 1) под знака за корен. Какво ще се промени? Това, което се случва за дадена стойност на х, сега ще се случва при отрицателната версия на тази стойност. Корен квадратен от х не е дефиниран за отрицателни числа. Тази функция сега не е дефинирана за положителни числа. Поведението, което виждаме за х равно на 2, сега ще наблюдаваме при х равно на –2. Поведението, което виждаме за х = 4, сега ще виждаме при х = –4, и така нататък. Следователно графиката на функцията у равно на корен квадратен от –х ще изглежда ето така. Това е един вид симетричният ѝ образ спрямо оста у. Имаме симетрия спрямо оста у. Добре, свършихме тази част. Сега да мащабираме функцията. Сега да умножим по две. Как ще изглежда графиката на у равно на 2 по корен квадратен от –х? Тя ще изглежда като тази червена крива, само че за всяка стойност на х тук стойността на функцията ще е два пъти повече. Значи за х = –4, вместо да достигнем до 2, ние ще достигнем 4. За х = –9, вместо до 3, сега ще достигнем до 6. При х = 0 стойността на функцията пак е равна на нула, защото две по нула е нула, така че графиката ще изглежда приблизително така. Това е графиката на у равно на две по корен квадратен от –х. И последно, но не по значение, как ще изглежда графиката на функцията – ще използвам различен цвят. Как ще изглежда графиката на у равно на 2 по корен от (–х – 1)? Всяка стойност на у, която получавахме преди, сега ще я намалим с 1. Ако преди стойността на функцията е била 6, сега ще бъде 5. Ако преди е била 4, сега ще бъде 3. Ако преди е била 0, сега ще бъде –1, така че нашата крива ще изглежда ето така, приблизително така. Да видим кои отговори съответстват на този резултат. Ще преместя малко надолу. И отговор С, и отговор D изглеждат донякъде правилни, но обърни внимание, че точно в началото на координатната система искаме стойността на функцията да е –1, така че отговор D е точно това, което ние начертахме. При х = 9 стойността на функцията е 5. При х = –9 стойността на функцията е 5. При х = 4 стойността на функцията е 3. При х = 0 стойността на функцията е –1. Точно това, което ние начертахме. Да решим друг пример. Ето тук имаме подобен въпрос. Тук е начертана функцията у равно на корен трети от х. После ни питат коя от следните графики съответства на израза в условието. Отново са ни дадени различни варианти за отговор, така че пак ти препоръчвам да поставиш видеото на пауза и да работиш самостоятелно преди да го решим заедно. Добре, да го разгледаме заедно. Ще използвам същата техника. Пак ще работя стъпка по стъпка. Вече е дадена графиката на у равно на корен трети от х. Сега да надградим. Да кажем, че търсим графиката, когато имаме (х + 2) под корена. Да начертаем графиката на у равно на корен трети от (х + 2). Тук ще имаме изместване на кривата с 2 наляво. Разглеждали сме това в много уроци досега, така че сега сме тук, като можеш даже да заместиш някои стойности, за да провериш дали е така. При х = 0... всъщност ще го направя по следния начин. Когато х е равно на –2, ще имаме корен трети от нула, което е ето тук. Сега се изместваме наляво с 2 единици, графиката ще изглежда приблизително така, и сега продължаваме по-нататък. Сега ще умножим това по минус едно, така че у е равно на минус корен трети от (х + 2). Как ще изглежда сега графиката? Ако умножим целия израз по –1, или, в този случай, цялата графика или цялата функция, по –1, графиката ще се прехвърли от другата страна на хоризонталната ос. Сега ще изглежда ето така. Всяка стойност, която сме имали преди за дадено х, сега ще имаме същата с обратен знак. Значи графиката ще изглежда приблизително така. Това е графиката на у равно на минус корен трети от (х + 2). Последно, но не по важност, трябва да помислим – търся подходящ цвят. Още не съм използвал оранжево. у равно на минус корен трети от (х + 2), сега ще добавя 5. Това, което се случва, е да преместим последната графика с 5 единици нагоре. Всяка стойност на функцията, която имахме преди, сега ще бъде с 5 единици по-високо. Значи с 5 нагоре, да видим. Тук имаме стойност 0, сега ще бъде 5. Графиката ще изглежда приблизително така. Не я чертая идеално, но добиваш обща представа. Да разгледаме отговорите. Мисля, че ключовият момент, е да следим тази точка ето тук, която в оригиналната графика е (0;0). Сега тази точка става (–2;5). Да видим къде е тя, като графиката също така трябва да е от другата страна. Отляво имаме горната част, а отдясно тази част слиза надолу. Да видим. В отговори А, В и С лявата част на графиката е по-високата част, а после дясната част е по-ниската част, но ние искаме тази точка да бъде (–2;5). В отговор А не е там. В отговор В не е там. В отговор D вече казахме, че посоката е грешна – имаме нарастване. Да видим, в отговор С точка (–2;5) е там, където очакваме. Това много прилича на това, което ние начертахме, така че избираме отговор С.