Изобразяване на функции при осева симетрия: примери

В това видео ще разгледаме някои практически примери от упражнения в Кан Академия, свързани с осева симетрия на функции. В първия пример се казва, това е графиката на функцията f. Добре. Функцията g е дефинирана като g(х) равно на f(–х). Добре. Каква е графиката на функцията g? В Кан Академия има няколко възможни отговора, но за целите на това видео мисля, че ще бъде забавно да помислим как ще изглежда графиката на функцията g, без да се занимаваме с отговорите, а просто като я построим. Постави видеото на пауза и опитай самостойтелно, поне наум. Добре, сега да го решим заедно. Вече казахме, че функцията g(х) е равна на функцията f от –х. Каквато и да е стойността на функцията f за дадена стойност на х, ще очакваме, че функцията g ще приеме стойността на f за съответната отрицателна стойност на х. Например, виждаме, че f от 4 е равно на 2, така че очакваме g от –4 да е равно на 2, защото, пак повтарям, g(–4)... мога да го запиша ето тук – g(–4) ще е равно на f от минус –4, което е f(4). Можем да продължим по същия начин. Колко ще бъде g(–2)? То ще е равно на f(2), което е 0, така че ще бъде ето тук. Колко ще бъде g(0)? Това е равно на f(0), защото –0 е равно на 0. f(0) е ето тук. Изглежда, че е –2. Вероятно вече се досещаш какво се случва. Ние вече говорихме в предходните видео уроци, че ако заместим х с минус х, това е равносилно на осева симетрия спрямо оста у. Значи графиката на g ще е нещо подобно. Тя ще изглежда приблизително така. Отново, g(–6) ще е равно на f(6). Ето това е графиката на g. Ако решаваш този пример на сайта на Кан Академия, можеш да избереш варианта, който изглежда ето така, което представлява осева симетрия спрямо оста у. Да решим друг пример. Тук отново е дадена графиката на функцията f, а после ни питат коя е графиката на функцията g. Постави видеото на пауза и поне опитай да си представиш наум как би изглеждала. Добре, в тази ситуация не заместваме х с –х във функцията f. Вместо това тук g(х) е равно на минус цялата функция f. Всъщност можем да преработим функцията g по следния начин. Можем да кажем, че функцията g е равна – обърни внимание, всичко ето тук, това е дефиницията на функцията f(х). Значи g(х) е равна на минус f(х). Сега тя не е f(–х), а е равна на –f(х). Един начин да разсъждаваме върху този случай е да видим, че f(0) е равно на 2, но g(0) ще е равно на минус тази стойност, значи ще е равно на –2. И продължаваме по този начин. Можеш да видиш, че каквато и да е стойността на f за дадено х, стойността на g ще е същата стойност, но със знак минус. Значи ще бъде тук долу. Следователно g(х) e симетричен образ на f(х) спрямо оста х. Значи g(х) ще изглежда приблизително така – образ спрямо оста х. Пак повтарям, на сайта на Кан Академия избираш варианта, който изглежда ето така. Да решим още един пример. Това е невероятно забавно. Добре, тук ни дават функцията f, която е тази графика с плътна тъмносиня линия, а графиката на функцията g е с тази прекъсната линия. Как можем да изразим функцията g чрез функцията f? Постави видеото на пауза и помисли върху това. Тук ключовият момент е да открием каква е трансформацията на f(х), всъщност тук е надписано, това тук е f(х), и как можем да получим g(х)? f(–х) ще бъде образ при осева симетрия спрямо оста у. Ще се пресекат тук. Това би била тази права част ето тук. Сега просто експериментирам. Би имала права част ето така. След това отива нагоре. Да видим. Ако имаме f(–х). Когато заместим 6 в нея, това ще е f(–6), което е 6. Значи се издига нагоре ето тук. Значи f(–х) ще изглежда ето така. Приблизително така. В цикламено е f(–х). По този начин не получаваме точно g, но се приближаваме малко повече, защото изглежда, че ако имаме осева симетрия на f(–х) спрямо оста х, изглежда, че получаваме g. Как да намерим изображението на нещо спрямо оста х? Видяхме го в примера току-що. Умножаваме цялата функция по минус 1. Можем да кажем, че g е равно на минус f от минус х. Това е равно на минус това. Значи имаме две осеви симетрии. Имаме симетрия спрямо оста у, после имаме симетрия спрямо оста х, за да получим g. Да решим още един пример. Отново е дадена графиката на функцията f, както и на g, и ни е дадена дефиницията на функцията f ето тук. Какво е уравнението на функцията g? Не се иска да я изразим чрез функцията f. Искат да дадем уравнението на g. Постави видеото на пауза и помисли върху това. Тук много ясно виждаме, че това е осева симетрия спрямо оста у. Много ясно можеш да видиш, че това е, когато g(х) е равно на f(–х). Откъде знаем това? Всеки път, когато изчислим f(х) и получим тази стойност, g от тази стойност със знак минус е стойността на същата функция, ако мога да се изразя така. Друг начин да обясним това е, че можем да изберем тази точка, –8, стойността на f(–8) е малко над 4, но стойността на g(8) е също малко над 4, стойностите им са равни. Какво ще бъде уравнението на g? Само трябва да преработим този израз, така че да го запишем като уравнение. Можем да запишем: g(х) равно на... ако заместим всички хиксове тук с –х, какво ще получим? Получаваме 4 по корен квадратен от 2 минус... вместо х, записвам –х, а после минус 8 извън знака за корен. Така получаваме g(х) равно на четири по корен квадратен от 2 плюс х, минус 8. И сме готови.