Въведение към мащабиране на функции

Това е снимка от екрана на сайта Desmos – това е онлайн графичен калкулатор. Ще го използваме, за да разберем как можем да мащабираме функции. Препоръчвам ти да отидеш на сайта на Desmos и да го разгледаш, или по време на това видео, или след края му. Да започнем с една хубава, интересна функция, нека това е f(х) равно на абсолютната стойност на х, което е много лесно нещо. Да опитаме да направим мащабирана версия на f(х), например g(х) равно на – да започнем просто с абсолютната стойност на х, значи е същата като f(х). Ще нанесем g(х) точно върху графиката на f, а сега да умножим g(х) по някаква константа, например по две. Разгледай разликата между g(х) и f(х) и ще видиш, че g(х) е просто две по f(х), всъщност можем да я запишем по този начин, можем да запишем, че g(х) е равна на 2 по f(х), отиваме в съвсем същата точка и можеш да видиш, че когато х нараства, g(х) нараства два пъти по-бързо, поне за положителните стойности на х в дясната страна, а когато стойността на х намалява, g(х) се променя два пъти по-бързо. Дали е съвпадение това, че тук умножаваме по 2 и функцията нараства два пъти по-бързо? Да поставим тук 3, сега виждаме, че изглежда тя се увеличава три пъти по-бързо и то и в двете посоки. Ами ако умножим по 0,5? Сега изглежда, че функцията нараства наполовина толкова бързо, което е логично, защото ние просто умножаваме, мащабираме стойността на функцията f(х). Преди, когато х е равно на 1, отивахме до 1, но сега, когато х е равно на 1, ние достигаме само до 1/2. Когато преди х е равно на 5, получихме 5, сега, когато х е 5, получаваме 2,5. Значи нараства с половината от скоростта на функцията f, или имаме половината от наклона на графиката на f. Един интересен въпрос, над който да помислим, е какво ще се случи, ако вместо абсолютната стойност на х... да кажем, че искаме да имаме пресечна точка с оста у, различна от нула, да кажем, че – не знам – нека е плюс 6. Обърни внимание, че в този случай когато променим тази константа отпред, това променя не само наклона, но променя и пресечната точка с оста у, защото умножихме целия израз по 0,5, ако го умножим по 1, се връщаме в изходна позиция, а ако умножим по 2, това увеличава и пресечната точка с оста у, защото – спомни си – ние умножаваме и двата члена по две и виждаме това, не само наклонът се удвоява, но се увеличава и стойността на ординатата на пресечната точка с оста у. Ако отидем на 0,5, не само наклонът намалява с коефициент 0,5, или можем да кажем, че умножаваме наклона по 0,5, но също така и пресечната точка с оста у е наполовина на това, което е била преди. Можем да видим това в по-общ план, ако просто поставим тук някаква константа и добавим плъзгач, който променя стойността ѝ. Ще направя тази константа между 0 и 10, със стъпка – не знам, нека да е 0,05. Стъпката означава с колко се увеличава константата, когато преместим плъзгача. с една позиция. Обърни внимание, че когато увеличаваме нашата константа, не само тук става по-тясно, защото мащабираме наклона, но и пресечната точка се увеличава, а после, когато k намалява, пресечната точка намалява и наклонът също намалява. Това е един начин, по който можем да разгледаме мащабирането, но какво ще стане, ако вместо да умножаваме цялата функция по някаква константа, ако вместо това заместим х с някаква константа по х, значи вместо k по f(х) ще имаме f от k по х. Друг начин да го разглеждаме е, че имаме функцията g(х), която сега е равна на абсолютната стойност на k по х плюс 6. Какво ще се случи според теб? Постави видеото на пауза и помисли върху това. Когато увеличаваме k, обърни внимание, че то не променя пресечната точка, защото не мащабираме пресечната точка, то влияе само на наклона, когато k се променя от 1 на 2, ние отново имаме два пъти по-бързо нарастване, а когато k се променя от 1 на 1/2 нарастването е наполовина. Това се отнася за функцията от абсолютната стойност на х, но какво би се случило с различна функция, например квадратна? Значи 2 минус х на квадрат – ще се преместя малко – виждаш, че когато k е равно на 1, двете графики съвпадат. Ако увеличим нашето k, нека да увеличим k да е 2, обърни внимание, че параболата в този случай намалява, когато се отдалечаваме все повече от нулата все по-бързо и по-бързо, защото това, което щяхме да получим при х = 2, сега се случва при х = 1, защото умножаваме това по 2. Ако k има стойности между 0 и 1, обърни внимание, че и от двете страни на нулата нашата парабола намалява с по-малка скорост, т.е. променя се скоростта, но на по-малка скорост на изменение, предполагам, че можем да се изразим така, и можем също така просто да се опитаме да видим какво се случва с нашата парабола ето тук. Ако вместо да умножаваме k по х, ако отново сложим k отпред, какво ще се случи тогава? Обърни внимание, че сега се променя не само скоростта на изменение на кривата в различните точки, но също така се променя и пресечната точка с оста у, защото сега мащабираме и тази пресечна точка с оста у. Ще спра дотук, само поставихме началото на разглеждането на мащабирането. Наистина искам да си изградиш добра представа какво се случва тук, и наистина да помислиш математически защо е логично. Отиди на Desmos и опитай самостоятелно това, използвай и други видове функции и виж какво се случва.