Трансформиране на фигури

Дадено е, че триъгълниците PQR и АВС са еднакви. Дължината на страната на едно квадратче е 1 единица. Значи всяко такова квадратче е една единица. Коя от следните комбинации от трансформации изобразява триъгълник РQR в триъгълник АВС? Дадени са четири различни комбинации от трансформации. Постави видеото на пауза и опитай да определиш коя от тези комбинации от трансформации изобразява триъгълник PQR в триъгълник АВС, като може да има повече от един правилен отговор. Постави видеото на пауза и опитай да определиш това. Сега да решим задачата заедно. Първо да разгледаме комбинация А. Ще използвам лилав цвят за нея. Спомни си, че започваме с триъгълник PQR. Първо имаме ротация на 90 градуса спрямо точка R – да го направим. После имаме следващите трансформации. Ако завъртим на 90 градуса, един начин да разсъждаваме, е че тази страна ще дойде ето тук. Значи ще направим ето това. (чертае) Точка R ще остане на мястото си. Тя е центърът на ротация. Но точка Р ще дойде ето тук. Един начин да разглеждаме това е, че между точките R и P имаме 1 единица надолу и три единици надясно. Когато извършим ротацията, ще отиваме една единица надясно и после три единици нагоре. Значи точка Р ще бъде ето тук, както виждаш. Това е ротацията. Тази страна ще изглежда ето така. Това е точка Р. После точка Q ще дойде ето тук. Правим още веднъж ротация на 90 градуса спрямо точка R. След тази ротация на 90 градуса, триъгълник PQR ще изглежда ето така. Това е точка Q. Направихме първата трансформация. Следва транслация с шест единици наляво и седем единици нагоре. Всяка от тези точки ще се премести с шест единици наляво и със седем единици нагоре. Ако вземем точка Р, шест наляво – едно, две, три, четири, пет, шест, и седем единици нагоре – една, две, три, четири, пет, шест, седем. Тази точка идва точно тук, това е точка Р. Ако вземем точка R, преместваме я с шест единици наляво – едно, две, три, четири, пет, шест, и седем единици нагоре – едно, две, три, четири, пет, шест, седем. Това ни довежда ето тук. Накрая точка Q, шест единици наляво – едно, две, три, четири, пет, шест, и седем нагоре – едно, две, три, четири, пет, шест, седем. Стигаме ето тук. Тази комбинация изглежда че е подходяща. Комбинация А работи. При нея триъгълник PQR се изобразява в триъгълник АВС. Последната точка тук не е R, а е точка Q. Значи комбинацията от трансформации А работи. Сега да разгледаме комбинация В. Ще използвам различен цвят. Транслация с осем единици наляво и с три единици нагоре – да направим първо това. Ако преместим точка Q с 8 единици наляво и три нагоре, едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, и три нагоре – едно, две, три. Сега това е нашата червена точка Q. Ако направим същото с точка R, едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем. Само да проверя, че е правилно. Едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, и три нагоре – едно, две, три. Новата точка R е ето тук. И последна, но не по значение, е точката Р – осем наляво – едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, и три нагоре – едно, две, три – идва ето тук. Значи тази транслация ни доведе ето тук в тази точка. Дойдохме в тази точка, но не сме приключили с трансформациите, трябва да направим още една трансформация. Тя ще изглежда като нещо такова. Дадено ни е, че следва осева симетрия спрямо хоризонталната права, която минава през точка А. Точка А е ето тук. Това е хоризонталната права през тази точка. Ако намерим симетричния образ, точка А остава същата. Точка R сега е на три единици под хоризонталната права. Точка R тогава ще бъде на 3 единици над хоризонталната права. Значи точка R ще дойде ето тук. Вече виждам, че тази комбинация от трансформации няма да ни свърши работа. Точка R идва на грешно място. Ще изключа отговор В. Комбинация С – ще използвам различен цвят. Не знам, може би ще ползвам този оранжев цвят. Осева симетрия спрямо вертикалната точка през точка Q. Извинявам се, осева симетрия спрямо вертикалната права през точка Q. Ще я направя. Вертикалната права през точка Q изглежда ето така, просто спускам една вертикална права. Ако намерим симетричния образ на точка Q – тя си остава на мястото. Точка R е на една единица надясно, значи сега ще бъде една единица наляво след осевата симетрия. Точка Р е на четири единици надясно, така че сега ще бъде четири единици наляво. Едно, две, три, четири, значи точка Р ще бъде ето тук след осевата симетрия. Триъгълникът ще изглежда горе-долу ето така след първата трансформация, но чертежът става малко претрупан. Но вероятно ще трябва да минеш през това, така че и аз ще мина през това. Добре, направихме първата част – осева симетрия. Следва транслация с четири единици наляво и седем нагоре. Значи четири единици наляво и седем нагоре. Ще опитам да я направя. Четири наляво – едно, две, три, четири, седем нагоре – едно, две, три, четири, пет, шест, седем. Точка Q идва ето тук. Вече съм подозрителен към това, защото при комбинация А тук дойде точка Р. Вече имам някакво предчувствие, но ще продължа. Значи четири наляво и седем нагоре. Едно, две, три, четири, и седем нагоре – едно, две, три, четири, пет, шест, седем. Значи точката R идва на същото място, където беше при комбинация А. После точка Р – едно, две, три, четири, едно, две, три, четири, пет, шест, седем. Да, наистина работи. Работи, защото това по същество е един равнобедрен триъгълник. Значи и тази комбинация работи. Успяхме да изобразим триъгълник PQR в триъгълник АВС с комбинация С. Избирам и този отговор. Накрая, но не по значение, е комбинация D. Ще използвам черно, за да можеш да виждаш. Първо ще направя транслация с осем единици наляво и с три единици нагоре. Осем наляво и три нагоре. Ще започнем ето тук. Едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, и три нагоре – едно, две, три. Поставям черната точка Q ето тук. Осем наляво – едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, и три нагоре – едно, две, три. Поставям черната точка R ето тук. Това е точно същото, което се случи в комбинация В първият път. Точка Р ще се премести ето тук. След тази транслация, това е първата трансформация в отговор D, точката идва ето тук. Следва ротация на –270 градуса спрямо точка А. Това тук е точка А. Ротация с –270, това е отрицателен ъгъл, значи ще се движим по часовниковата стрелка. Да видим, 180 градуса, да кажем, че ако вземем тази отсечка ето тук, ако се завъртим на 180 градуса, отива върху тази отсечка. После трябва да се завъртим още 90 градуса, това изглежда точно както би трябвало, тогава ще се нанесе върху това. Така че тази комбинация изглежда подходяща. Ако стигнем първо до тази отсечка ето тук, а после завъртим до –270 градуса, точката ще се изобрази ето тук, а после тази точка R ще се повози на въртележката, което е един начин да си го представим нагледно, и тя ще дойде ето тук. Така че и комбинация D ми харесва. Значи всички варианти без В са подходящи.