2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 2 (c & d)

Подточка с: "Изчисли определен интеграл от 0 до 10 от H'(t)dt. Използвай подходящи мерни единици и обясни смисъла на израза в контекста на задачата." Знаем, че ако искаме да сметнем този определен интеграл от 0 до 10 от H'(t)dt, това е същото като да сметнем примитивната функция на това нещо ето тук, което е H(t) за 10 и да извадим от това примитивната функция, сметната за 0. Това е втората част на фундаменталната теорема на математическия анализ. Това е начинът за изчисляване на определени интеграли. Когато погледнеш това от тук, виждаш, че когато го изчислиш, това е просто разликата в температурата между първата и десетата минута. Взимаме температурата в десетата минута и от нея изваждаме температурата в нулевата минута. Това е практически промяната на температурата за тези 10 минути. И ние реално можем да я сметнем. Знаем колко е температурата след 10 минути. H(10) е 43 градуса Целзий. Това тук е 43 градуса. От това ще извадим началната температура, температурата в нулевата минута, която е 66 градуса по Целзий. Значи вадим 66 градуса по Целзий. Така получаваме –23 градуса по Целзий. Значи промяната на температурата е минус 23 градуса. Температурата се е понижила с 23 градуса по Целзий в продължение на първите 10 минути. Това е тази подточка с. Сега да видим подточка d. "Във време t = 0 бисквитки с температура 100 градуса са извадени от фурната." Сега говорим за бисквитки. Започнахме с чай, сега – бисквитки. "Температурата на бисквитките в момент t е моделирана с диференцируемата функция В, за която знаем, че B'(t) е равно на ето този израз тук. Използвайки дадения модел, определи в момента t = 10 колко по-студени са бисквитките от чая?" Знаем колко е температурата на чая. Трябва само да намерим температурата на бисквитките, за да видим колко по-студени са те от чая. За да намерим температурата на бисквитките, всъщност можем да използваме същия метод. Можем да кажем, че бисквитките в началото имат температура 100 градуса по Целзий. И можем да се запитаме с колко са се охладили или колко е промяната на температурата им за 10 минути. Ако знаем промяната на температурата, като знаем, че тя в началото е 100 градуса, тогава можем да използваме това, за да видим колко е температурата им след 10 минути. И тогава ще можем да отговорим на този въпрос. Промяната на температурата през тези 10 минути е просто определен интеграл от 0 до 10 от този израз ето тук. Ще го запиша. Виждаме същия модел, който имахме ето тук. Това е за бисквитките. Сега говорим за бисквитки. Това ето тук ще бъде определен интеграл от 0 до 10. В'(t) – дадено ни е ето тук – е –13,84 по е на степен –0,173t, dt. И сега само ще сметнем това. Можем да сметнем това. Това, което трябва... защото ние знаем, че производната на е^ах е равна на аe^х. Ще го напиша. Производната на е^ах е равна на аe^ах, това следва от правилото за диференциране на сложна функция. Производната на вътрешната функция е просто "а". Умножаваме го по производната на целия израз. Производната на е^х е просто е^х. Или можем да кажем, че интеграл от е^ах dx е равен на 1/а по е^ах плюс с. Можеш да намериш производната на това, за да видиш, че ще получиш ето това тук. Използваме същия метод, примитивната функция на това тук ще бъде –13,84. Това ще разделим на коефициента пред t ето тук. Това е –0,173. Можем да използваме калкулатор. Калкулаторите са разрешени в тази част на задачата. Но можем да го решим и аналитично. По е на степен –0,173 по t. Ще сметнем това за 0 и 10. Ще го изчислим за 10 и ще извадим от него изчисленото за 0. Само ще изнеса пред скоби това тук. Това става –13,84 върху –0,173 по това, сметнато за t = 10. е на степен... ако умножим това по 10... това е –1,73. Това е, когато го сметнем за 10. И от това ще извадим резултата, когато го сметнем за 0. Ако степенният показател тук е 0, целият степенен показател е 0. е на степен 0 е равно на 1. Сега можем да извадим калкулатора и да сметнем това. Взимам си калкулатора (марка TI–85). Просто ще изчисля вътрешния израз ето тук. Значи е на степен –1,73. От това ще извадя 1. Получавам –0,822. Това е тази част в скобите. После го умножавам по това, което е пред скобите. Предишният отговор по... няма да пиша минусите, защото минус, делен на минус, е плюс. Значи само 13,84 делено на 0,173. Не пиша знаците минус, защото те се неутрализират. Получавам –65,817. Това е промяната на температурата на бисквитките. Това е промяната на температурата. Ще го запиша. –65,82 градуса. Това е –65,82 градуса по Целзий. Това е промяната на температурата на бисквитките. Знаем, че в началото те бяха с температура 100 градуса, и се охладиха с 65, 82 градуса в течение на 10 минути. Започнаха от 100, значи те се охладиха с получената стойност. Опа. Искам да извадя предишния отговор. Значи минус отговора. О, извинявам се. Всъщност искам да добавя промяната на температурата. Трябва да внимавам много тук. Понижиха се с 65 градуса. Така че имам 100 минус 65,817. Мога да продължа да добавям цифри, ако искам. 247, това е достатъчно. Значи след 10 минути бисквитите са с температура 34,18 градуса. Вече знаем температурата на чая след 10 минути. Знаем ,че тя е 43 градуса. А бисквитките са 34 градуса. Чаят е с 43 градуса. Ако чаят е с 43 градуса, тогава изваждаме температурата на бисквитките, виждаме, че бисквитите са по-студени с 8,82 градуса. С 8,82 градуса по-студени. Можем да кажем, че бисквитките са с 8,82 градуса по-студени от чая. И решихме и подточка d.