If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:13

Изпит по математически анализ, примерни въпроси

Видео транскрипция

Нека R е участък в първи квадрант, ограден от графиките на f(х) = 8х^3 и g(x) = sin (πх), както е показано по-горе. Начертали са фигурата ето тук. Подточка а: "Състави уравнение за допирателната към графиката на f(х) за х = 1/2." Ще начертая това отново тук, за да мога... обичам да чертая на черен фон, предполагам, че това е основната причина да го направя. Значи функцията f(х) = 8х^3 изглежда ето така. Това е оста х, а това е оста у. Трябва да съставим уравнение за допирателната права в точката, където х = 1/2. Това тук е х = 1/2. Ако отидем тук горе, ако изчислим f(1/2), ще получим 8 по 1/2 на трета степен, което е 8 по 1/8, което е 1. Те вече са ни го дали в тази точка. Това е точката (1/2; 1). Значи търсим уравнението на тази допирателна. Допирателната изглежда приблизително така. За да намерим това уравнение, трябва просто да намерим наклона ѝ, като знаем една точка от правата – и можем да я използваме или може да използваме стандартно уравнение на права, за да отговорим на въпроса. Най-напред да намерим наклона. Наклонът на допирателната е равен на наклона на функцията в тази точка. По друг начин можем да представим това като f'(1/2), производната, изчислена за 1/2. Производната ни дава наклона на правата в тази точка. Колко е f'(х)? Това е просто производната на това. Значи 3 по 8 е 24х^2. f'(1/2) е равно на 24 по 1/2 на квадрат, което е равно на 24 по 1/4, което е равно на 6. Значи наклонът на тази права е равен на 6. Ще означа наклона с m. Така е прието, когато учихме това в алгебрата. Значи наклонът е 6. Общото уравнение на тази права е у = mх + b. Това е наклонът, това е ординатата на пресечната точка с оста у. Вече знаем, че наклонът е 6, а сега ще използваме факта, че правата минава през точката (1/2; 1), за да намерим колко е b. Когато у е равно на 1, 1 е равно на наклона по х плюс b, а х е равно на 1/2. Можем също да кажем, че когато х = 1/2, у е равно на 1. Ако заместим х = 1/2, умножаваме го по наклона, плюс пресечната точка с оста у, и ще получа 1 е равно на 3 + b. Можем да извадим 3 от двете страни и става –2 = b. Уравнението на правата е у = 6х – 2. Това е уравнението на допирателната права. Сега подточка b: "Намери площта на участъка R." R е този участък ето тук. Той е ограден отгоре с графиката на g(х), която е дефинирана като sinπх, и отдолу от графиката на f(х) = 8х^3. Значи тази площ ще бъде... всъщност ще направя следното– само да слеза малко надолу. Все още се вижда тази графика. Подточка b. Площта на R e равна на интеграл от 0 – това е точката на пресичане ето тук, до 1/2 – искам да поясня: Това е от 0 до 1/2. После горната функция – просто можем да намерим площта на това, но тогава трябва да извадим от нея площта под долната функция. Единият начин да разсъждаваме е, че интеграл от 0 до 1/2 от горната функция е g(х), която е равна на sinπх. Но ако само изчислим този интеграл... ще сложа тук dx. Ако просто изчислим това, ще получим площта на цялата тази област. Но ние искаме да извадим площта под втората функция, под f(х). Искаме да извадим само площта под това. Затова просто изваждаме от това f(х). f(х), вече видяхме, е 8х^3. И сега можем просто да изчислим това. Ще оградя това тук, защото стана малко разхвърляно. Ще го направя тук долу. Търсим примитивната функция на sin π x. Производната на косинус х е равна на –sin х. Производната на cos (πх) е равна на –π sin (πx). Значи примитивната функция на sin πх е равна на –1/π cos πх. Можеш да направиш проверка самостоятелно. Но може да кажеш: "Сал, откъде разбра, че е отрицателно?" Поставих знак минус тук, така че когато намираме производната на косинус от πх, тя ще бъде със знак минус, но с този минус ще се наутрализират, така че тук ще стане плюс. После може да попиташ защо тук слагам 1/π. Когато намираме производната на този израз с помощта на правилото за диференциране на сложна функция, производната на πх дава π, по което трябва да умножим всичко, и после ще получим –sin πх. Но тук нямаме π. Така че ми трябва нещо, с което да се съкратят. И 1/π ще се съкрати с това π. Можеш да използваш заместване и всичко останало, ако ти се струва удобно. Но по принцип е добър навик, или бих казал, че е добре да можеш да правиш това от пръв поглед. Така че можеш да провериш, че тази производна е равна на sin πх. Значи примитивната функция на синус от πх е това. Примитивната функция на –8х^3 е –8, което ще разделя на 4, става –2х^4. Просто увеличих степенния показател от 3 на 4, и после разделих 8 на 4. Можеш да намериш производната на това, за да се увериш, че е равна на –8x^3. И сега трябва да сметна това от 0 до 1/2. Когато го изчисляваме за 1/2, получавам –1/π по косинус от π/2 минус 2 по 1/2 на четвърта степен, което е 1/16. Това е равно на 1/2. После от това ще извадя –1/π по косинус от 0. Само да го запиша. Минус –1/π по косинус от π по 0. Ще запиша косинус от 0π, или може да напишем π по 0, минус 2 по 0 на четвърта степен. Това си е минус 0. Сега да сметнем това. За да го опростим, имаме косинус от π/2, което е нула, така че всичко това става нула. И после имаме –2 делено на 16. Това е равно на –1/8. После от това ще извадим това тук. Косинус от нула е 1. Това става просто –1/π. После тук имаме 0, което ще игнорираме. Значи това е равно на –1/8 плюс 1/π. И сме готови. В тази част на изпита не е позволено да се използва калкулатор. Така че това е максималното, което очакват да направиш. Спирам до тук. В следващото видео ще решим подточка с.