2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 3 (c)

Подточка с: "Състави интеграл, без да го изчисляваш, за обема на тяло, получено от R – това е тази област ето тук – при завъртането на R около хоризонтална права у = 1." Правата у = 1 е ето тук. Начинът, по който бих искал да разсъждаваме – да помислим за обема, ако вземем просто долната функция – ако просто вземем f(х) и я завъртим около правата у = х, около тази ос, извинявам се, около у = 1, тогава колко би бил обемът на това тяло, и после да извадим от него обема на тяло, получено при завъртането на горната функция – ако вземем g(х) и я завъртим около оста. Първо да помислим какъв обем ще получим, ако вземем... това е методът на дисковете, който вече сме разглеждали (няма аналог на български) много по-подробно в плейлиста с клипове по математически анализ, но сега да помислим за обема, ако f(х) се завърти около тази ос. За да го направим, да си представим всеки слой от това тяло. Това е – ще начертая това малко нещо ето тук – представи си как този слой се завърта и образува... представи си, че дължината е радиусът на един диск. Само си представи... ще начертая целия диск. Ако завъртя това около оста, то ще стане диск, който изглежда приблизително така, и дълбочината на този дик – представи си го като монета, гледана отстрани, дебелината на монетата е ето тук. Бих могъл да го нарисувам и по-добре. Дебелината на монетата изглежда ето така, тя е постоянна, ще я означа с dx – това е просто това разстояние ето тук, това е dx – и колко ще е площта на тази монета? Лицето на повърхността на този монета – ще го направя ето така – с различен цвят. Искам да е синьо – лицето на повърхността на монетата е π по радиуса на монетата, на квадрат. А колко е радиусът на монетата? Радиусът е тази височина ето тук. Колко е тази височина? Това е 1 – f(х). Това е радиусът. Значи площта на повърхността, един вид лицето на монетата, е равна на π... лицето на повърхността на тази монета е равно на π по квадрата на радиуса, което е равно на π по (1 – f(х))^2. Това е тази синя област тук, и ако искам да намеря обема на тази монета, трябва да умножа по дебелината на монетата. Значи по dx. Ако искам да намеря обема на цялото тяло – цялото това ротационно тяло, трябва да намеря сумата от всички тези обеми. Това тук е просто диск, но има и друг диск, и още един подобен диск, който рисувам ето тук, може да има още един диск ето тук, и искам да намеря сумата на всички тези дискове. Значи ще взема... Обемът V е равен на сумата от всички тези дискове – х е от 0, което е тази гранична точка, до х = 1/2, по π по (1 – f(х))^2. Това е лицето на повърхността на всеки от тези дискове, а после умножаваме по дебелината на всеки от тези дискове – което дава обема на всеки от тези дискове, и след това сумирам всички тях. Значи това е обемът, ако просто завъртя f(х) около оста у = 1, и всъщност ще напиша тук dx, това ето тук, този израз, който получихме, това е равно на очевидно просто на обема на всички тези дискове. Значи това е обемът, ако завъртя f(х) около у = 1. Ще означа този обем като V с индекс f. И по съвсем същата логика можем да намерим обема, ако вземем g(х), ако сме завъртели g(х) около ... ако завъртим g(х)... ако получим дискове като този, когато завъртим g(х) около у = 1. Тогава обемът V си индекс g ако завъртим g(х) около у = 1, ще бъде интеграл от 0 до 1/2 π по (1 – g(х)), това е всеки от тези радиуси ето тук, всеки от тези радиуси на квадрат, dx. Така обемът на това, за което ни питат – обемът на тялото, получено при завъртане на R около... R е един вид пространството между f(х) и g(х) – И получаваме, че обемът ще е равен на разликата между тези обеми – това ще бъде този обем, този един вид външен обем, като извадим един вид сърцевината – ще го "издълбаем", като извадим този обем. Значи обемът на това тяло ще бъде равен на интеграл – ще взема нов цвят – интеграл от 0 до 1/2, от π(1-f(x))^2 dx МИНУС интеграл от 0 до 1/2 от π(1-g(x))^2 dx. Това е напълно валиден отговор, но можеш и да го опростиш. Имаме еднакви граници на интегриране, еднакви променливи на интегриране, и имаме това π ето тук, което можем да изнесем, така че това е равно на π по интеграл от 0 до 1/2 от (1-f(x))^2 МИНУС (1-g(x))^2, цялото това по dx. После – и може би евентуално би искал/а по време на изпита да не оставяш отговора като f(x) и g(x), вероятно ще предпочетеш да заместиш изразите за f(x) и g(x). Така че най-добрият отговор би бил вероятно: π по интеграл от 0 до 1/2, по [1(1 –... f(х) е 8х^3, значи [1(1 – 8х^3)]^2 минус (1 – g(x)... като g(х) е равно на sin πх. Това е на квадрат, по dx. И това е нашият отговор, като виждаш, че не искат да ни затрудняват да го изчисляваме, искат само да съставим този интеграл.