If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 8

Урок 1: Изпит по математически анализ, примерни въпроси

2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 3 (c)

Методът на дисковете за намиране на обема на твърдо тяло, създадено чрез ротация на функция. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Подточка с: "Състави интеграл, без да го изчисляваш, за обема на тяло, получено от R – това е тази област ето тук – при завъртането на R около хоризонтална права у = 1." Правата у = 1 е ето тук. Начинът, по който бих искал да разсъждаваме – да помислим за обема, ако вземем просто долната функция – ако просто вземем f(х) и я завъртим около правата у = х, около тази ос, извинявам се, около у = 1, тогава колко би бил обемът на това тяло, и после да извадим от него обема на тяло, получено при завъртането на горната функция – ако вземем g(х) и я завъртим около оста. Първо да помислим какъв обем ще получим, ако вземем... това е методът на дисковете, който вече сме разглеждали (няма аналог на български) много по-подробно в плейлиста с клипове по математически анализ, но сега да помислим за обема, ако f(х) се завърти около тази ос. За да го направим, да си представим всеки слой от това тяло. Това е – ще начертая това малко нещо ето тук – представи си как този слой се завърта и образува... представи си, че дължината е радиусът на един диск. Само си представи... ще начертая целия диск. Ако завъртя това около оста, то ще стане диск, който изглежда приблизително така, и дълбочината на този дик – представи си го като монета, гледана отстрани, дебелината на монетата е ето тук. Бих могъл да го нарисувам и по-добре. Дебелината на монетата изглежда ето така, тя е постоянна, ще я означа с dx – това е просто това разстояние ето тук, това е dx – и колко ще е площта на тази монета? Лицето на повърхността на този монета – ще го направя ето така – с различен цвят. Искам да е синьо – лицето на повърхността на монетата е π по радиуса на монетата, на квадрат. А колко е радиусът на монетата? Радиусът е тази височина ето тук. Колко е тази височина? Това е 1 – f(х). Това е радиусът. Значи площта на повърхността, един вид лицето на монетата, е равна на π... лицето на повърхността на тази монета е равно на π по квадрата на радиуса, което е равно на π по (1 – f(х))^2. Това е тази синя област тук, и ако искам да намеря обема на тази монета, трябва да умножа по дебелината на монетата. Значи по dx. Ако искам да намеря обема на цялото тяло – цялото това ротационно тяло, трябва да намеря сумата от всички тези обеми. Това тук е просто диск, но има и друг диск, и още един подобен диск, който рисувам ето тук, може да има още един диск ето тук, и искам да намеря сумата на всички тези дискове. Значи ще взема... Обемът V е равен на сумата от всички тези дискове – х е от 0, което е тази гранична точка, до х = 1/2, по π по (1 – f(х))^2. Това е лицето на повърхността на всеки от тези дискове, а после умножаваме по дебелината на всеки от тези дискове – което дава обема на всеки от тези дискове, и след това сумирам всички тях. Значи това е обемът, ако просто завъртя f(х) около оста у = 1, и всъщност ще напиша тук dx, това ето тук, този израз, който получихме, това е равно на очевидно просто на обема на всички тези дискове. Значи това е обемът, ако завъртя f(х) около у = 1. Ще означа този обем като V с индекс f. И по съвсем същата логика можем да намерим обема, ако вземем g(х), ако сме завъртели g(х) около ... ако завъртим g(х)... ако получим дискове като този, когато завъртим g(х) около у = 1. Тогава обемът V си индекс g ако завъртим g(х) около у = 1, ще бъде интеграл от 0 до 1/2 π по (1 – g(х)), това е всеки от тези радиуси ето тук, всеки от тези радиуси на квадрат, dx. Така обемът на това, за което ни питат – обемът на тялото, получено при завъртане на R около... R е един вид пространството между f(х) и g(х) – И получаваме, че обемът ще е равен на разликата между тези обеми – това ще бъде този обем, този един вид външен обем, като извадим един вид сърцевината – ще го "издълбаем", като извадим този обем. Значи обемът на това тяло ще бъде равен на интеграл – ще взема нов цвят – интеграл от 0 до 1/2, от π(1-f(x))^2 dx МИНУС интеграл от 0 до 1/2 от π(1-g(x))^2 dx. Това е напълно валиден отговор, но можеш и да го опростиш. Имаме еднакви граници на интегриране, еднакви променливи на интегриране, и имаме това π ето тук, което можем да изнесем, така че това е равно на π по интеграл от 0 до 1/2 от (1-f(x))^2 МИНУС (1-g(x))^2, цялото това по dx. После – и може би евентуално би искал/а по време на изпита да не оставяш отговора като f(x) и g(x), вероятно ще предпочетеш да заместиш изразите за f(x) и g(x). Така че най-добрият отговор би бил вероятно: π по интеграл от 0 до 1/2, по [1(1 –... f(х) е 8х^3, значи [1(1 – 8х^3)]^2 минус (1 – g(x)... като g(х) е равно на sin πх. Това е на квадрат, по dx. И това е нашият отговор, като виждаш, че не искат да ни затрудняват да го изчисляваме, искат само да съставим този интеграл.