2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 4a

Непрекъснатата функция f е дефинирана в интервала х по-голямо или равно на –4 и х по-малко или равно на 3. Графиката на f се състои от две четвъртини от окръжности и един линеен сегмент. Това тук е четвърт окръжност, това е втората четвърт окръжност и това тук е линейният сегмент, както се вижда на чертежа. Ще отместя чертежа встрани, за да имаме място за работа. Нека g(х) е равно на 2х плюс определен интеграл от 0 до х от f(t) dt. Това е доста интересно. Да видим подточка а. "Намери g(–3)". Искат да намерим колко е g(–3). Първо ни казват колко е g(х). g(–3) означава да заместим всеки х с –3. Това ще бъде 2 по –3 плюс определен интеграл от 0 до –3 от f(t)dt. Тази първа част тук е много лесна. 2 по –3 е равно на –6. После тази част тук е определен интеграл от 0 до –3 от f(t)dt. Това на практика е площта под графиката на f(t), или под кривата f(х), ако искаш така да го разглеждаш – между 0 и –3. Това също е лесно да се определи, но трябва да внимаваме. Защото тази площ ето тук, това е интеграл... ще използвам различен цвят, за да виждаш по-добре. Тази площ ето тук е равна на интеграл от –3 до 0 от f(t), или можем да кажем даже f(t)dt или f(х)dх, всички стават. Това е тази площ ето тук. Направили са размяна. Сложили са по-голямото число като долна граница. Поставили са 0 като долна граница. Така че можем да преработим това. Това е равно на –6 минус... ако разменим границите на интегриране, трябва да сменим знака на интеграла. Значи става минус интеграл от –3 до 0 от f(t)dt. И сега това тук – този израз ето тук е площта под тази четвърт окръжност. Тази площ под четвъртина окръжност, можем да използваме знанията си от геометрията, за да я намерим. Знаем радиуса. Радиусът тук е 3. Целият кръг е π по r на квадрат. Значи целият кръг – площта на целия този кръг – това е равно на πr^2. Значи π по 3 на квадрат, което е 9π. Това е равно на 9π, но на нас ни трябва 1/4 от целия кръг. Затова ще го разделим на 4. Значи тази площ тук е равна на 9π върху 4. За подточка а получаваме, че това е равно на –6, тази част ето тук, минус 9π върху 4. Това е поне първата част на подточка а. После казват да намерим g'(х). Да намерим g'(х). Първата част от подточка а решихме ето тук. После искат да намерим g'(х). Това е просто производната на g(х). Производната на 2х е просто 2. После производната на – тук ще използваме основната теорема на математическия анализ – производната на определен интеграл от 0 до х от f(t)dt, това е равно на f(х). Така че това е g'(х). Втората част решихме ето тук. Това е g'(х). И после трябва да я сметнем за –3. g'(–3) ще е равно на 2 плюс f(–3), което е равно на 2 плюс... да видим тук колко е f(–3). Това е дефиницията на нашата функция. Когато х = –3, тогава нашата функция е равна на 0. f(–3) е равно на 0. Тук става 2 плюс 0, което е равно на 2. Така че g(–3) е равно на 2. И с това решихме подточка а. Най-трудната част беше просто да осмислим границите на интегриране. Защото е изкушаващо да кажеш, че интеграл от 0 до –3 е равен на тази площ тук, защото интервалът е между 0 и –3. Но трябва да осъзнаеш, че всъщност трябва да разменим границите и да сменим знака на интеграла, за да имаме тази площ ето тук. Че интегралът е тази площ със знак минус. Точно това направихме в тази стъпка ето тук.