2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 4b

Подточка b. "Определи х-координатата на точката, в която функцията g има абсолютен (глобален) максимум в интервала х по-голямо или равно на –4 и х по-малко или равно на 3. Обоснови отговора си." Да помислим за общия случай. Ако имаме някаква произволна функция в някакъв интервал, тя къде може да има абсолютен максимум? Ще начертая една координатна система. Първо ще разгледаме общия случай, а после ще се върнем към функцията g, която е получена от тази функция f ето тук. Нека това да са осите на координатната ни система, и да кажем, че ни интересува някакъв интервал ето тук. Нека това да е интервалът, който ни интересува. Функцията може да изглежда някак така. В този случай абсолютният максимум е в началото на интервала. Или функцията може да изглежда ето така. Тогава абсолютният максимум може да е в крайната точка на интервала. Друг вариант е функцията да изглежда ето така. Тогава максимумът е в тази критична точка. Казвам критична точка, а не просто точка, в която наклонът е нула, защото е възможно функциите да не са диференцируеми тук. Представи си функция, която изглежда ето така, и може да не е диференцируема тук. Но в тази точка пак ще има абсолютен максимум. Това, което реално трябва да направим, е да разгледаме g в различните крайни точки на този интервал, да видим колко нараства, или колко голяма е стойността, която приема g в тези крайни точки. После да видим дали g има някакви критични точки между тях. Да изчислим стойността ѝ в тях, за да видим дали може някоя да е глобален максимум. Хайде да изчислим g в крайните точки. Да започнем с g в точката х = –4... това е един вид най-долният край, началната точка на интервала. Значи g(–4) е равно на 2 по –4 плюс интеграл от 0 до –4 от f(t)dt. Тази част е много лесна, 2 по –4 е –8. Ще се преместя тук, за да спестя малко място. Значи това е равно на –8. И вместо да оставим това интеграл от 0 до –4 от f(t)dt, да разменим границите на интегриране, за да бъде по-малкото число долна граница. По този начин става малко по-естествено да разсъждаваме за това като площ. Значи този израз тук може да се преработи като минус интеграл между –4 и 0 от f(t)dt. Сега този израз ето тук е равен на площта под f(t), или в този случай f(х)... или площта под f между –4 и 0. Това е тази площ ето тук. Тук трябва да внимаваме, защото тази част тук е под оста х. Това можем да го приемем като площ с отрицателна стойност, когато го разглеждаме като интегриране. А това е площ с положителна стойност. Значи общата площ е равна на тази положителна площ минус тази площ ето тук. Да помислим колко е това. Тази площ, този участък тук, който намерихме в подточка а, всъщност, тази част – това е четвърт кръг, значи е 1/4 – и двете тук са четвърт кръгове. Можем да умножим по 1/4 по площта на целия кръг, ако начертаем цял кръг по този начин. Той има радиус 3. Площта на целия кръг е π по 3^2, или 9π. И, разбира се, ще разделим това на 4. Умножаваме го по 1/4 и получаваме четвърт кръг ето тук. После тази площ ето тук, площта на целия кръг, който има радиус 1, ще бъде π по 1 на квадрат. Това е равно на π, което делим на 4, защото това е отново само четвърт от кръга. И ще извадим това. Имаме –π, и го умножаваме по 1/4 ето тук, защото и в двата случая имаме само по четвърт кръг. Изваждаме, защото тази площ е под оста х. Това се опростява до – това е равно на 1/4 по 8π, което е равно на 2π. Вярно ли е това? 1/4 по 8π, това се опростява до 2π. Значи g(–4) е равно на –8 –2π. Това тук очевидно е отрицателно число. По отрицателно от –8. Сега да изследваме другата граница. Да видим колко е g(3). Ще се преместя тук, за да имам повече пространство. g(3), когато х е равно на 3, връщаме се към дефиницията – това е 2 по 3, плюс интеграл от 0 до 3 от f(t)dt. Това ще е равно на – 2 по 3 е равно на 6. Интеграл от 0 до 3 от f(t)dt, това е цялата тази площ. Тук имаме площ с положителна стойност. После тук имаме същата площ с отрицателен знак, защото е под оста х. Значи интеграл от 0 до 3 ще бъде просто 0, имаме тази положителна площ, а после тук отрицателна площ, и те се унищожават изцяло, защото тук има симетрия. Това нещо е равно на 0. Значи g(3) е 6. Вече знаем ,че в началната точка g(–4), когато х е равно на –4, там нямаме глобален максимум за g. Защото това е отрицателно число. Вече намерихме крайната точка, в която g има положителна стойност. Определено –4 не е кандидат. х = 3 все още е в надпреварата за х-координата, в която g има глобален, абсолютен максимум. Сега да определим дали има някакви критични точки на g помежду им. Точките тук са или недиференцируеми, или производната е 0. Да разгледаме тази производна. g'(х) е просто производната на този израз ето тук. Производната на 2х е 2. Производната на това нещо, интеграл от 0 до х от f(t)dt... това го намерихме в подточка а, това следва от фундаменталната теорема на математическия анализ – това е равно на +f(х) ето тук. Всъщност се оказа, че g е диференцируема в целия интервал. За всяка произволна стойност от този интервал съществува стойност на f(х). f(х) не е диференцируема навсякъде, но определено f(х) е дефинирана навсякъде в интервала. Значи ще получим число тук, и очевидно 2 е просто 2, и към него добавяме 2, и получаваме производната на g в тази точка от интервала. Всъщност g е диференцируема в целия интервал. Единствената критична точка би била там, където тази производна е нула. Да приравним това на 0. Ще решим уравнението, само искам да го препиша. Ще решим уравнението g'(х) е равно на 0, или 2 + f(х) = 0. Изваждаме 2 от двете страни, и получаваме, че f(х) = –2. Всяко х, което удовлетворява f(х) = –2 е точка, в която производната на g(х) е равна на 0. Да видим дали f(х) е равно на –2 в някоя точка. Ще спусна една права при –2. Ще го оценим визуално, защото са ни дали само графично функцията f(х). Не е равно на –2, не е равно на –2, равно е на –2 само тук. Изглежда, че като добавим 2 и 1/2, но нека да е по-точно. Нека да намерим наклона на графиката, и да видим колко точно е стойността на х, за която f(х) е равно на –2. Можем да определим наклона на тази права и визуално, или да намерим уравнението на тази права визуално, можем да определим наклона ѝ. Ако промяната на х е 3, тогава промяната на у е, да видим, промяната е –6. Промяната на у е –6. Наклонът е издигане върху изместване, промяната на у върху промяната на х. Значи –6 делено на 3 е равно на –2. Наклонът е –2. Всъщност можеше да го направя и по-лесно. Когато се преместим с 1, слизаме надолу с 2. Така виждаме, че наклонът е равен на –2. Значи за тази част от f(х) имаме у = –2х +... ординатата на пресечната точка с оста у се намира лесно. Тя е при у = 3: 1, 2, 3. Значи става у = 2х + 3. Частта от f(х), където тя е равна на –2 в някаква точка, тази част от f(х) е дефинирана от тази права. Очевидно тази част на f(х) не е дефинирана от тази права. Но за да намерим точната стойност, трябва само да намерим къде тази права е равна на –2. Значи –2х + 3 = –2. Спомни си, че това не е... това е на какво е равно f(х), в интервала, който ни интересува. Ако говорим за f(х) ето тук, тогава не можем да вземем 2х + 3, там има някакво друго уравнение за тези окръжности. Но ето тук, в тази част това е f(х) и сега можем да го решим много лесно. Можем да извадим 3 от двете страни, получаваме –2х е равно на –5. Делим двете страни на –2, получаваме х = –5 върху –2, което е 5/2. Точно толкова, колкото определихме визуално. Изглеждаше, че е около 2 и 1/2, което е равно на 5/2. Обаче не знаем какво е това. Не знаем дали това е инфлексна точка. Дали е максимум? Дали е минимум? Затова трябва да сметнем g в тази точка, за да видим дали е по-високо, отколкото g(3). Да изчислим g(5/2). Значи g(5/2) е равно на 2 по 5/2 плюс интеграл от 0 до 5/2 от f(t)dt. Тук отпред тези двойки се съкращават. Това става равно на 5. После плюс интеграл от 0 до 5/2. Може би можеш да го направиш и визуално, но ние знаем стойността на f(t) в интервала, вече намерихме формулата на функцията в този интервал. Значи това е интеграл от (–2х + 3),dt И сега само ще сметнем това. Само да си направя място. Това е... ще начертая една линия, за да не се объркваме. Това ще е равно на 5 плюс... и после намираме примитивната функция. Примитивната функция на –2х е –х^2. Значи имаме –х^2. Примитивната функция на 3 е просто 3х. Значи плюс 3х. И ще го сметнем от 0 до 5/2. Това е равно на 5 +... ще направя това ето тук. Ще използвам зелено. Когато смятаме за 5/2, това става –5/2 на квадрат. Значи това е –25/4, плюс 3 по 5/2, което е 15/2. После трябва да извадим това, изчислено за 0. –0 на квадрат плюс 3 по 0 е просто 0. Значи това се опростява до това. И какво получаваме? Ще приведа към общ знаменател. Изглежда общият знаменател ще е 4. Това е равно на... 5 е същото нещо като 20/4 минус 25/4, после плюс 30/4. 20 плюс 30 е 50, минус 25 е 25. Значи това е равно на 25/4. 25/4 е същото нещо като 6 и 1/4. Когато сметнем функцията в тази критична точка, тук, където наклонът или производната е равна на 0, получаваме 6 и 1/4, което е повече от 6, колкото е g в тази крайна точка. И това определено е по-голямо от g(–4). Значи х-координатата на точката, в която g има глобален максимум в интервала от –4 до 3, е х = 5/2.