2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 4c

Подточка с: "Намери всички стойности на х в интервала –4 по-малко или равно на х, х по-малко или равно на 3, в които графиката на функцията g има инфлексна точка. Обоснови отговора си." Инфлексна точка е точка, в която знакът на втората производна се променя. Ако намериш втората производна в тази точка, или когато се приближаваме до тази точка, или я преминаваме, знакът се променя от положителен на отрицателен или от отрицателен на положителен. За да си го представим, може да вземем някои примери. Ако имаме крива, която изглежда ето така, ще забележиш, че ето тук наклонът е отрицателен, но нараства. Става по-малко отрицателен, по-малко отрицателен. После става 0 и след това продължава да нараства. Наклонът нараства, нараства, чак до ето тук, и после започва да става по-малко положителен. Започва да намалява. Значи наклонът нараства в тази точка ето тук. Въпреки, че наклонът е отрицателен, той става по-малко отрицателен. Той нараства. После наклонът продължава да нараства. Става все по-положителен и по-положителен до тази точка ето тук. И после наклонът е положителен, но започва да става по-малко положителен. Наклонът започва да намалява след това. Това тук е инфлексна точка. Наклонът преминава от нарастване към намаляване. Ако се случи обратното, ако наклонът премине от намаляване към нарастване, това също е инфлексна точка. Ако това е графика на някаква тригонометрична функция, тя може да изглежда подобно на това. Това тук също е инфлексна точка. Но тук нашата g(х) е трудно да се представи по този начин, така както са я дефинирали. Най-добрият начин за разсъждение по това е да определим къде втората производна сменя знака си. За да определим това, трябва да намерим втората производна. Ще запиша g(х) ето тук. Знаем, че g(х) е равно на 2х плюс определен интеграл от 0 до х от f(t)dt. Вече намерихме производната, но ще го направя отново. g'(х) е равно на 2 плюс – ще използваме фундаменталната теорема на анализа. Производната на това тук е просто f(х). Сега втората производна на g – g''(х)(прим, прим) – това е равно на: производната на 2 е 0. Производната на f(х) е равна на f'(х). Търсим кога това си сменя знака, кога втората производна си сменя знака. Това е все едно да питаме къде първата производна на f(х) си сменя знака. Да търсим къде първата производна на f(х) си сменя знака е еквивалентно да кажем къде се сменя знака на наклона на f. Можем да разглеждаме това като моментния наклон на f. Търсим кога наклонът на f си сменя знака. Да помислим върху това. Ето тук наклонът е положителен. Изкачва се нагоре, нагоре. Нараства, но е положителен. Това е, което ни интересува. Ще го запиша със зелено. Наклонът е положителен през цялото време. Нараства, нараства, положителен е. Сега става по-малко положителен. Започва да намалява, но наклонът още е положителен. Наклонът е още положителен чак докато стигнем до тук. Това е доста близко до нула. После наклонът става отрицателен. Ето тук наклонът е отрицателен. Тук наклонът е отрицателен. Това е интересно. Защото, макар f да не е диференцируема ето тук – f не е диференцируема в тази точка ето тук. Виждаме, че наклонът е много близко до 0, и после просто скача на –3. Имаме прекъснатост на производната точно тук, но имаме и смяна на знака. Преминаваме от положителен наклон в тази част от кривата към отрицателен наклон в тази част на кривата. Значи тук има смяна на знака, когато х е равно на 0, смяна на знака на първата производна на f, което е същото като смяна на знака на втората производна на g. Смяната на знака на втората производна на g означава, че когато х = 0, графиката на g има инфлексна точка.