2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 4d

Подточка d: "Намери средната скорост на изменение на f в интервала х по-голямо или равно на –4 и х по-малко или равно на 3." Това е интервалът, който са показали ето тук. После казват, че не съществува точка с в този интервал, за която f'(с) е равна на средната скорост на изменение. "Обясни защо това твърдение не противоречи на теоремата на Лагранж за крайните нараствания." Супер. Добре, да започнем с първата част. Средната скорост на изменение на f в интервала. Звучи сложно, но всъщност средната скорост на изменение в интервала е просто наклона на правата, която свързва двете крайни точки на интервала. Значи ето тези тук, това са крайните точки, и трябва да намерим наклона на тази права. Значи тръгваме от тази точка, промяната на х, ще го направя с някакъв цвят, за да можеш да виждаш. Промяната на х ето тук е равна на 7. Можеш да го намериш, като вземеш 3 минус –4, можеш просто да преброиш: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Това е промяната на х. После промяната на у, когато се преместим със 7 надясно, промяната по у е равна на –2. Отиваме от –1 до –3, което е равно на –2. Наклонът е равен на промяната на у върху промяната на х, равно е на 7 върху –2, или всъщност е точно обратното. Промяната на у е –2, върху 7 (промяната на х). Значи –2/7, това е. Сега можеш... Може да използваш и по-различни методи, но ще получиш съвсем същия отговор, ако си кажеш: "О, виж, средната скорост на изменение на f в интервала." Скоростта на изменение на f e равна на f'(х). Това е скоростта на изменение във всяка една точка. Така че, за да намериш средната стойност на това в интервала, трябва да интегрираш от началната точка, от –4 до 3, f'(х)dx, и после ще разделиш на промяната на х. Значи после ще го умножиш по 1/7. После това, тази част ето тук, е просто същото като f(3) минус f(4). И после тук имаш 7 в знаменателя. Така че това наистина е просто промяната на х. Това е промяната на х, която е по дефиниция, или как всъщност правим тази средна стойност ето тук. Това тук е просто промяната на у. Така че това е просто наклонът между крайните точки. Готови сме с първата част. Средната скорост на изменение на f в интервала е –2/7. Сега да видим втората част. Виждаш, че в интервала няма точка с, за която f'(с) e равно на средната скорост на изменение на функцията. Обясни защо това твърдение не противоречи на теоремата на Лагранж за крайните нараствания. Теоремата на Лагранж за крайните нараствания, да преговорим набързо, според нея, ако имаме някакъв интервал – ще начертая координатна система тук. Ако имаме един интервал, ще направя един интервал ето така. В този интервал имаме диференцируема функция. Имаме диференцируема функция, която може да изглежда ето така. Според теоремата има поне една точка с в този интервал, в която производната е равна на средната скорост на изменение. Начинът, по който начертах функцията тук, средната скорост на изменение на тази функция – ще го направя с цикламено, е точно ето тук. Според теоремата на Лагранж за крайните нараствания, ако тази функция е диференцируема, тогава има поне една точка с в този интервал, където имам същия наклон, където допирателната има същия наклон като средния наклон. Можеш да видиш тук, вероятно точно ето тук една от тези точки и може би има още много такива. Вероятно има и друга точка ето тук, която е като нея, и вероятно тук има друга точка, подобна на нея. И ако се замислиш, това е доста логично, че в някаква точка... досещаш се, очевидно има по-голям наклон а тук има подобен наклон, тъй като е диференцируема, нашата производна е непрекъсната. Така че в някаква точка наклонът трябва да е равен на средния наклон. Сега да помислим за нашата малка главоблъсканица в този въпрос. Защо тук няма точка с, в която f'(с) е равно на средната скорост на изменение на функцията? Можеш да го провериш даже самостоятелно, защото от –4 до 0 наклонът е положителен. Тук имаме положителен наклон, а после наклонът скача на –2. Скача рязко надолу до –2, което е много по-отрицателен наклон от този. Той изобщо не минава през –2/7, и причината е това, че тази функция не е диференцируема в х = 0. Тук наклонът скача и затова тя не е диференцируема и теоремата на Лагранж за крайните нараствания не е приложима. Представи си, че ако беше диференцируема, ако тук имаше непрекъсната производна, тогава щеше да намериш такава точка. Ако тя изглеждаше ето така – ще продължа насам. Ако изглеждаше ето така, вместо където минава сега, щеше да има непрекъсната производна, и тогава щеше да има точка, в която наклонът да е равен на средния наклон. Може би щеше да е ето тук. Така че това се дължи на факта, че f не е диференцируема в целия интервал. Няма непрекъсната производна. Производната скача от положителна стойност, клоняща към 0 тук, и скача изведнъж чак до –2 ето тук. Тя не преминава равномерно през всички стойности между тях.