2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 5a

Задача 5. "В началото на 2010 г. едно сметище съдържало 1400 тона твърди отпадъци." Функцията на нарастване W..." – предполагам, че W непрекъснато нараства – "Нарастващата функция W моделира общото количество твърди отпадъци, депонирани на сметището." Плановиците допускат, че за следващите 20 години W се описва с диференциалното уравнение: производната на W спрямо времето, равна на 1/25 по (W – 300). Това е за следващите 20 години. W се измерва в тонове. t се измерва в години от началото през 2010 г." Добре, да започваме. Подточка а. "Използвай допирателната към графиката на W за t = 0, за да апроксимираш количеството твърди отпадъци, които сметището съдържа след края на първите 3 месеца на 2010 г." Щом времето е в години, 3 месеца са равни на 1/4 година. Значи t = 1/4. Отначало изглежда много сложно. Дават ни диференциално уравнение. Дори не знаем каква е действителната функция W. Как да намерим коя е нейната допирателна? Но нека да помислим над въпроса, който ни задават. Независимо как изглежда W – да помислим върху това. Не знаем как изглежда функцията W. Казват ни обаче, че тя е нарастваща функция. В момент t = 0 има 1400 тона. Казват ни го ето тук. И това количество нараства. Обаче не знаем как изглежда тази функция. Нека това е W. Това, което ни казват в подточка а, е да използваме допирателната към графиката в t = 0. Ще начертая W малко по-различно. W може да изглежда ето така. Казват ни да намерим допирателната, да намерим наклона на допирателната за t = 0. Тук има някакъв наклон. После можем да използваме този наклон, за да създадем линейна апроксимация къде ще бъдем след 1/4 година след този момент. И макар да не знаем каква е W, можем да вземем наклона на тази права, това е оста t, до t = 1/4. И където и да ни отвежда тази права след 1/4 година, това ще е прилична апроксимация. Екстраполираме съгласно тази първа точка и настоящия наклон. Значи трябва само да намерим наклона на тази права, и да видим къде минава правата за t = 1/4. Но ти може да кажеш: "Почакай. Как ще намерим производната на W за t = 0, като не знаем W? Това можем да получим от това диференциално уравнение. Можем да преработим това диференциално уравнение, като използваме малко по-различен начин на записване. Това е производната на W спрямо t. Можем да представим това като W'(t) е равно на 1/25 по функцията W, която е функция от t, минус 300. Когато го погледнеш в този вид, сега става малко по-ясно как да разберем колко е производната на W за 0. Наклонът на тази права е просто производната на W, изчислена за 0. Значи просто взимаме производната на W и я изчисляваме за 0. Получаваме W'(0) е равно на 1/25 по W(0), което знаем. Знаем, че това са 1400 тона твърди отпадъци. Това е колко отпадъци има в момента t = 0. Минус 300. Значи това тук е 1400. И получаваме W' за t = 0. Наклонът в момент t = 0, или нашата производна в t= 0, е равна на 1/25 по (1400 – 300), което е 1100. 25 се съдържа в 1100 колко – 44 пъти, нали? Съдържа се 4 пъти във всяка стотица. Имаме 11 стотици. Значи това е 44. Наклонът на тази права е 44. Можем да означим наклона с m. Всъщност ще го запиша с думи. Наклонът на тази права е 44. Ядох някакви фъстъци и гласът ми е малко дрезгав. Моля да ме изтърпиш. Наклонът на тази права е 44. Как да използваме това, за да намерим апроксимацията на количеството отпадъци, които сметището съдържа в края на първите три месеца? Ще увелича малко мащаба. О, пръстите ми са целите в сол. Вероятно не държа добре писалката. Но ще се постарая. Ще увелича още малко. Започваме от 1400 тона. Това е оста W. Това е оста за времето t. Започваме с 1400 тона. И имаме нарастване от тук. Казват ни, че това е нарастваща функция. Вероятно изглежда приблизително така. После наклонът ето тук... Не знам, не съм начертал W прецизно. Само предполагам как би могла да изглежда в тази точка. Допирателната има наклон 44. Това е допирателната. Това означава, че ако се преместим с една единица по оста за времето, което е равно на 1 година, тогава отиваме нагоре с 44 тона. Ако използваме тази права като апроксимация, след една година, в тази точка ще имаме 1444 тона. Но ние не искаме да апроксимираме след една година. Искаме да апроксимираме след 1/4 година. Да опитаме да апроксимираме. Това е половин година. Това е 1/4 година. Опитваме се да апроксимираме ето тази точка. Значи това тук е 1400, тази точка ето тук. И можем да съставим уравнение за правата, ако искаме. Можем да кажем, че тази права... ще означа това с Wa като апроксимация на W, защото това не е точно нашата функция W – това е равно на наклона на правата, 44, по времето, плюс ординатата на пресечната точка с оста у. Или можем да кажем плюс началното условие, плюс 1400. Като заместим времето t = 1/4, получаваме точно 44 по... Ще го запиша по този начин. Нашата апроксимация на W за t = 1/4 година е равна на 44 по 1/4 плюс 1400. Свършва ми мястото. А със солени ръце не мога да пиша хубаво. Значи 44 по 1/4 или 44 делено на 4, това е 11, плюс 1400. Събираме ги и получаваме 1411 тона. Това е нашата апроксимация. Просто взехме наклона от началната точка и използвахме този наклон като апроксимация. Вероятно това не е точното количество тонове въз основа на реалната функция W. Но това е добра апроксимация. Това е отговорът ни на подточка а – 1411 тона.