If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 8

Урок 1: Изпит по математически анализ, примерни въпроси

2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 5a

Използване на допирателна права за екстраполиране на функция от познато първоначално състояние. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Задача 5. "В началото на 2010 г. едно сметище съдържало 1400 тона твърди отпадъци." Функцията на нарастване W..." – предполагам, че W непрекъснато нараства – "Нарастващата функция W моделира общото количество твърди отпадъци, депонирани на сметището." Плановиците допускат, че за следващите 20 години W се описва с диференциалното уравнение: производната на W спрямо времето, равна на 1/25 по (W – 300). Това е за следващите 20 години. W се измерва в тонове. t се измерва в години от началото през 2010 г." Добре, да започваме. Подточка а. "Използвай допирателната към графиката на W за t = 0, за да апроксимираш количеството твърди отпадъци, които сметището съдържа след края на първите 3 месеца на 2010 г." Щом времето е в години, 3 месеца са равни на 1/4 година. Значи t = 1/4. Отначало изглежда много сложно. Дават ни диференциално уравнение. Дори не знаем каква е действителната функция W. Как да намерим коя е нейната допирателна? Но нека да помислим над въпроса, който ни задават. Независимо как изглежда W – да помислим върху това. Не знаем как изглежда функцията W. Казват ни обаче, че тя е нарастваща функция. В момент t = 0 има 1400 тона. Казват ни го ето тук. И това количество нараства. Обаче не знаем как изглежда тази функция. Нека това е W. Това, което ни казват в подточка а, е да използваме допирателната към графиката в t = 0. Ще начертая W малко по-различно. W може да изглежда ето така. Казват ни да намерим допирателната, да намерим наклона на допирателната за t = 0. Тук има някакъв наклон. После можем да използваме този наклон, за да създадем линейна апроксимация къде ще бъдем след 1/4 година след този момент. И макар да не знаем каква е W, можем да вземем наклона на тази права, това е оста t, до t = 1/4. И където и да ни отвежда тази права след 1/4 година, това ще е прилична апроксимация. Екстраполираме съгласно тази първа точка и настоящия наклон. Значи трябва само да намерим наклона на тази права, и да видим къде минава правата за t = 1/4. Но ти може да кажеш: "Почакай. Как ще намерим производната на W за t = 0, като не знаем W? Това можем да получим от това диференциално уравнение. Можем да преработим това диференциално уравнение, като използваме малко по-различен начин на записване. Това е производната на W спрямо t. Можем да представим това като W'(t) е равно на 1/25 по функцията W, която е функция от t, минус 300. Когато го погледнеш в този вид, сега става малко по-ясно как да разберем колко е производната на W за 0. Наклонът на тази права е просто производната на W, изчислена за 0. Значи просто взимаме производната на W и я изчисляваме за 0. Получаваме W'(0) е равно на 1/25 по W(0), което знаем. Знаем, че това са 1400 тона твърди отпадъци. Това е колко отпадъци има в момента t = 0. Минус 300. Значи това тук е 1400. И получаваме W' за t = 0. Наклонът в момент t = 0, или нашата производна в t= 0, е равна на 1/25 по (1400 – 300), което е 1100. 25 се съдържа в 1100 колко – 44 пъти, нали? Съдържа се 4 пъти във всяка стотица. Имаме 11 стотици. Значи това е 44. Наклонът на тази права е 44. Можем да означим наклона с m. Всъщност ще го запиша с думи. Наклонът на тази права е 44. Ядох някакви фъстъци и гласът ми е малко дрезгав. Моля да ме изтърпиш. Наклонът на тази права е 44. Как да използваме това, за да намерим апроксимацията на количеството отпадъци, които сметището съдържа в края на първите три месеца? Ще увелича малко мащаба. О, пръстите ми са целите в сол. Вероятно не държа добре писалката. Но ще се постарая. Ще увелича още малко. Започваме от 1400 тона. Това е оста W. Това е оста за времето t. Започваме с 1400 тона. И имаме нарастване от тук. Казват ни, че това е нарастваща функция. Вероятно изглежда приблизително така. После наклонът ето тук... Не знам, не съм начертал W прецизно. Само предполагам как би могла да изглежда в тази точка. Допирателната има наклон 44. Това е допирателната. Това означава, че ако се преместим с една единица по оста за времето, което е равно на 1 година, тогава отиваме нагоре с 44 тона. Ако използваме тази права като апроксимация, след една година, в тази точка ще имаме 1444 тона. Но ние не искаме да апроксимираме след една година. Искаме да апроксимираме след 1/4 година. Да опитаме да апроксимираме. Това е половин година. Това е 1/4 година. Опитваме се да апроксимираме ето тази точка. Значи това тук е 1400, тази точка ето тук. И можем да съставим уравнение за правата, ако искаме. Можем да кажем, че тази права... ще означа това с Wa като апроксимация на W, защото това не е точно нашата функция W – това е равно на наклона на правата, 44, по времето, плюс ординатата на пресечната точка с оста у. Или можем да кажем плюс началното условие, плюс 1400. Като заместим времето t = 1/4, получаваме точно 44 по... Ще го запиша по този начин. Нашата апроксимация на W за t = 1/4 година е равна на 44 по 1/4 плюс 1400. Свършва ми мястото. А със солени ръце не мога да пиша хубаво. Значи 44 по 1/4 или 44 делено на 4, това е 11, плюс 1400. Събираме ги и получаваме 1411 тона. Това е нашата апроксимация. Просто взехме наклона от началната точка и използвахме този наклон като апроксимация. Вероятно това не е точното количество тонове въз основа на реалната функция W. Но това е добра апроксимация. Това е отговорът ни на подточка а – 1411 тона.