If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:18

Изпит по математически анализ, примерни въпроси

Видео транскрипция

Сега да видим подточка b. Избърсах всичката сол от пръстите ми, изпих чаша вода. Сега съм готова за работа. "Намери втората производна на W спрямо t, изразена чрез W. Използвай втората производна, за да определиш дали отговорът ти в подточка а е подценяване или надценяване на количеството твърди отпадъци, които сметището ще съдържа в момента t = 1/4." Да започнем с първата част. Да намерим втората производна, изразена спрямо W. Тук имаме първата производна. В подточка а аз я представих с по-различен начин на записване. Но ще използвам това, защото трябва да я запиша тук, и мога да гледам това нещо. Да намерим производната на двете страни на това диференциално уравнение спрямо t. Намирам производната на лявата страна спрямо t, намирам втората производна на W спрямо t като функция от t, намирам производната на това спрямо t. Това е равно на 1/25 по W(t) – 12. Когато намираш производната, тази константа изчезва, и остава само 1/25 по производната на W(t). Нека да поясня. Това е равно на 1/25 по W като функция от t, минус 12. 1/25 от 300 е 12. Намираме производната на това, получаваме 1/25 по първата производна на W, и после производната на това спрямо t е просто 0. Константата не се променя спрямо t. Получаваме това тук. Това е втората производна изразена чрез първата производна. Но в условието искат от нас да представим втората производна чрез функцията W. За наш късмет, знаем как да изразим това като функция от W. Дали са го в условието. Само ще го препиша с различен начин на записване. Това ще е равно на 1/25 по производната на W. Производната на W е това тук. Диференциалното уравнение ни казва буквално, че производната на W е това тук. Значи 1/25 по W(t), функцията W като функция от t, минус 300. Значи втората производна... ще го напиша по-дребно, за да не хабя място. Втората производна на W като функция от t е равна на 1/625 по W като функция от t, което е функция от t, минус 300. Направихме първата част. Намерихме втората производна на W изразена просто чрез W. Сега да видим втората част на подточката. Готови сме с първата част. Сега да видим как да определим дали отговорът в подточка а е подценяване или надценяване на количеството твърди отпадъци, които съдържа сметището в момента t = 1/4. В подточка намерихме наклона на допирателната в t = 0, и използвахме този наклон, за да апроксимираме за третия месец, или когато t = 1/4 година. Ако наклонът на W в t = 1/4 (т.е. W') е точно равен на наклона на допирателната в t = 0,, или ако наклонът не се променя, тогава нашата екстраполация ще бъде съвсем точна. Ако наклонът на W нараства във времето, тогава апроксимацията е подценяване на точното количество. Ако наклонът намалява в течение на времето, тогава нашата апроксимация ще е надценяване на действителното количество, намиращо се на сметището. За да сметнем дали наклонът нараства или намалява, просто трябва да погледнем стойността на втората производна. Ако втората производна е положителна, това означава, че наклонът се увеличава, което означава, че нашата екстраполация ще бъде подценяване. Само да поясня. Ще начертая това. Искам да поясня. Ще начертая една произволна функция. Нека това да е W. В този случай наклонът на W' нараства бързо, или наклонът на W' нараства спрямо наклона в началната точка. В началната точка – това е нашият наклон. После наклонът на W продължава да нараства. В този случай нашата апросксимация е подценяване на това къде точно се намира W след 1/4 година. Ако наклонът на W е точно същият като на нашата функция през първите три месеца, тогава ще изглежда приблизително така. Може би се отклонява по-късно. В този случай нашата апроксимация ще е наистина точна. Вероятно ще е точна за W. Ако наклонът на W по някаква причина стане отрицателен след тази точка, това означава, но са ни казали, че това е нарастваща функция, така че това не е вероятно. Обаче може – даже не е нужно да става отрицателен. Може наклонът на W да намалява, но да остава положителен. Както съм го начертал, той не... ще го начертая така, за да стане по-ясно. Нека да кажем, че нашият наклон изглежда приблизително така. Това е наклонът на допирателната в момента t = 0. Ако наклонът на W се увеличава след тази точка, тогава W може да изглежда ето така. Тогава отговорът в подточка а ще бъде подценяване на това къде се намира реално W след 1/4 година. Ще го начертая, за да ти стане ясно какво правя. Това е оста W. Това тук е началното условие 1400. Това е оста за времето t, това е 1/4. В предишното видео казахме, че тук сме точно на 1411 (тона). Ако наклонът на W се увеличава след тази точка, това е подценяване. Ако наклонът на W остава същият, тогава това е много добра оценка, защото това трябва да е точната стойност на W. Ако наклонът на W намалява, ако си представим, че W изглежда приблизително така. Има този наклон на допирателната в началото, а после наклонът намалява. Това все още е нарастваща функция, но наклонът намалява. В този случай ще имаме надценяване. В този случай при първия сценарий, наклонът се увеличава. Това означава, че W'' (прим прим) е положителна. Наклонът нараства и втората производна е положителна. Това е страничен продукт или това е причина втората производна да е отрицателна. Наклонът намалява. Това е втората производна. Втората производна е нула. Ако наклонът не се променя – ако наклонът е константа, ако първата производна е константа, тогава втората производна е равна на нула. Да видим колко е втората производна при началното условие, и тогава ще разберем дали имаме надценяване или подценяване в подточка а. Да намерим просто втората производна за t = 0. Тя ще е равна на 1/625 по W(0), което знаем колко е, минус 300. W(0) е количеството отпадъци в момента t = 0, дадено ни е в условието, че това са 1400 тона. 1400 минус 300 е равно на 1100. 1100 делено на 625, това е малко число, това е 1 цяло и нещо. Но е положително число. А това е важното сега. Това нещо, всичко това тук, това е положително. Втората производна е положителна, което означава, че наклонът нараства. Поне в началната точка наклонът нараства. Щом наклонът нараства в тази точка, тогава... честно, фактът, че нараства изобщо и това, че знаем, че W e растяща функция, означава, че нашата апроксимация в подточка а е подценяване. Значи имаме този сценарий. Нашата апроксимация в подточка а е подценяване на действителното количество твърди отпадъци на сметището в момента t = 1/4.