2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 6a

Шеста задача. Нека f да е дефинирана като f(х) е равно на – и тук има два случая. Когато х е по-малко или равно на 0, f е равно на 1 – 2sin х. Когато х > 0, тогава f(х) е равно на е на степен –4х. Докажи, че функцията е непрекъсната за х = 0. За да бъде непрекъсната функцията за х = 0, да помислим какво трябва да се случи. Ако имам една функция – нека това да е оста х. Това е оста у. Интересува ни какво се случва при х = 0. х = 0 е тук. Нека това да е нашата функция. Може би изглежда ето така. Не знам. Точно тази вероятно изглежда горе-долу така. Тази точно сигурно изглежда... кой знае. После може да изглежда ето така. Конкретиката не е толкова важна. Трябва само да помислим какво ни питат. За да бъде непрекъсната тук, границата, когато клоним към нула отляво трябва да е равна на стойността на функцията в 0. Значи границата на f(х) трябва да е равна на f(0), като това трябва да е равно на границата, когато клони отдясно, което трябва да е равно на границата, когато клони към 0 отдясно, това трябва да е равно на границата, когато х клони към 0 отдясно на f(х). Причината това да е важно, е че това не е случаят, ако f(0) не е същата граница, тогава тук може да има прекъсване. Значи трябва да имаме граници. Може да имаме такава ситуация, когато тук има прекъсване. Тогава ще изглежда ето така. Значи двете граници отляво и отдясно съществуват, и границата в тази точка ще съществува. Но ако самата функция не е равна на тази стойност, ако тя е равна на нещо друго, тогава функцията няма да е непрекъсната. Ето защо границата трябва да бъде равна на стойността на функцията, за да е непрекъсната. Да видим дали всички тези са равни едни на други. Първо, да помислим за стойността на функцията тук. Спомни си, това е подточка а. f(0) е равно на – ще използваме първия случай, защото това е случаят, когато х е по-малко или равно на 0. f(0) е равно на 1 – 2 по синус от 0. Синус от 0 е 0, 2 по 0 е 0. Това цялото е нула. 1 минус 0 е 1. Добре. Сега да видим границата, когато х клони към 0 от лявата страна. Когато приближаваме 0 от лявата страна на f(х). Значи приближаваме отляво, тук стойностите на х са по-малки от 0. Повтарям, това е първият случай. Това е границата, когато х клони към нула отляво за 1 – 2sin х. Синус от х е непрекъсната функция. Значи това е равно на 1 минус 2 по синус от 0, което вече намерихме, че е равно на 1. Значи това е равно на 1. Стойността на границата, когато се приближаваме отляво е същата като стойността на функцията. Сега да видим, когато клоним отдясно – когато се приближаваме със стойности на х, по-големи от 0. Да помислим за границата на f(х), когато клоним към нула отдясно. Тук имаме стойности на х, които са по-големи от 0. Имаме този случай ето тук. Това е границата, когато х се приближава към нула отдясно и функцията е "е" на степен –4х. Стойностите на х, които ни интересуват, или по принцип, това е непрекъсната функция. Това е равно на е на степен –4 по 0, което е просто 0, и това става 1. Още веднъж, това е равно на 1. Функцията е равна на 1 в тази точка, границата, когато клоним отляво е 1, и границата, когато клоним отдясно, е също 1. Значи тук функцията е непрекъсната.