2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 6b

Подточка b: "За х различно от 0, изрази f'(х) като частично определена функция. Намери стойността на х, за която f'(х) е равно на –3." Първото нещо, което може да те учудва, е защо изобщо са изключили х = 0, и защо там производната няма да е дефинирана. И това е така, защото ще видиш, че производната ще бъде нещо различно, когато приближаваме х = 0 отляво, за разлика от случая, в който доближаваме х = 0 отдясно. И затова те са го отделили. Сега да определим производната за всички други стойности на х. f'(х) е равно на... за х < 0, ще намерим производната за този първия случай. Производната от 1 е просто 0. Производната от –2sin х. Производната на синус от х е просто косинус от х. Значи това става минус 2 по косинус от х за х < 0. Когато х е по-голямо от 0... Ще взема различен цвят, ще използвам оранжево – имаме този случай тук. Използваме правилото за производна от сложна функция, производната на –4х спрямо х е –4. Производната на е на степен –4х спрямо –4х е просто е на степен –4х. Понякога казваме, че това е производната на вътрешната функция по производната на външната спрямо вътрешната. И по двата начина това е минус 4 по е на степен –4х за х по-голямо от 0. Направихме първата част, изразихме f'(х) като частично определена функция. Не сме определили производната. Тук всъщност забравих скобите. Не сме определили производната, когато х е равно на 0, защото там тя е неопределена. Сега да видим втората част. "Намери стойността на х, за която f'(х) е равно на –3." Ако това не беше частично определено, можеше просто да кажеш: "Добре, f'(х) е равно на –3." Вземаш на какво е равно f'(х) и го решаваш алгебрично. Но тук може да се зачудиш кой случай да използваш. Не знаем дали х, за което получаваме –3, ще е по-малко от 0 или ще е по-голямо от 0. Не знаем кой случай да използваме. Едно нещо, което можем да осъзнаем, е да разгледаме тези функции и да видим, че косинус от х е ограничена функция. Косинус от х се движи само между +1 и –1. Значи –2 по косинус от х може да приема стойности само между +2 и –2. Никога няма да достигне –3. Ако нещо ще достигне до –3, то трябва да е тази част от производната, или тази част от функцията на производната. Значи трябва да е това тук. Да се надяваме, че има някакви стойности на х > 0, за които това нещо тук е равно на –3. Хайде да проверим. –4 по е на степен –4х трябва да е равно на –3. Можем да разделим двете страни на –4. Получаваме, че "е" на степен –4х е равно на –3, което делено на –4 е равно на 3/4. Можем да логаритмуваме двете страни и ще получим –4х е равно на натурален логаритъм от 3/4. Само да поясня, това, което направих тук, можеш буквално да напишеш тук натурален логаритъм и тук, и можеш да сложиш натурален логаритъм тук, също така да видим тази стъпка. Тук се казва коя е степента, на която трябва да повдигнем е, за да получим е на степен –4х. Очевидно, просто трябва да повдигнем е на степен –4х. Значи тази степен е –4х. После просто взимаме натурален логаритъм от дясната страна. За да намерим х, можем да разделим двете страни на –4. Получаваме х е равно на... или можем да умножим двете страни по –1/4, и по двата начина... –1/4 натурален логаритъм от 3/4. И сега само трябва да направим проверка за това х. Използвахме този случай тук, но трябва да се уверим, че можем да използваме този случай, че това х е по-голямо от 0. И може да се изкушим, когато погледнем това, да кажем, че това изглежда като отрицателно число. Но да си припомним, че натурален логаритъм от 3/4, понеже 3/4 е по-малко от е, натурален логаритъм от 3/4 ще бъде отрицателно число. Този степенен показател трябва да е отрицателно число. И понеже това е отрицателно, и тази част тук е отрицателна, имаме отрицателно по отрицателно, така че тук получаваме положително. Това тук е положителна стойност. Можеш да използваш този случай ето тук. Това е отговорът: х е равно на –1/4 по натурален логаритъм от 3/4. Или производната, за нея можем да запишем, че f'от минус 1/4 по натурален логаритъм от 3/4 е равно на минус 3. И сме готови.