If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 8

Урок 1: Изпит по математически анализ, примерни въпроси

2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 6b

Производна на частично определена функция. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Подточка b: "За х различно от 0, изрази f'(х) като частично определена функция. Намери стойността на х, за която f'(х) е равно на –3." Първото нещо, което може да те учудва, е защо изобщо са изключили х = 0, и защо там производната няма да е дефинирана. И това е така, защото ще видиш, че производната ще бъде нещо различно, когато приближаваме х = 0 отляво, за разлика от случая, в който доближаваме х = 0 отдясно. И затова те са го отделили. Сега да определим производната за всички други стойности на х. f'(х) е равно на... за х < 0, ще намерим производната за този първия случай. Производната от 1 е просто 0. Производната от –2sin х. Производната на синус от х е просто косинус от х. Значи това става минус 2 по косинус от х за х < 0. Когато х е по-голямо от 0... Ще взема различен цвят, ще използвам оранжево – имаме този случай тук. Използваме правилото за производна от сложна функция, производната на –4х спрямо х е –4. Производната на е на степен –4х спрямо –4х е просто е на степен –4х. Понякога казваме, че това е производната на вътрешната функция по производната на външната спрямо вътрешната. И по двата начина това е минус 4 по е на степен –4х за х по-голямо от 0. Направихме първата част, изразихме f'(х) като частично определена функция. Не сме определили производната. Тук всъщност забравих скобите. Не сме определили производната, когато х е равно на 0, защото там тя е неопределена. Сега да видим втората част. "Намери стойността на х, за която f'(х) е равно на –3." Ако това не беше частично определено, можеше просто да кажеш: "Добре, f'(х) е равно на –3." Вземаш на какво е равно f'(х) и го решаваш алгебрично. Но тук може да се зачудиш кой случай да използваш. Не знаем дали х, за което получаваме –3, ще е по-малко от 0 или ще е по-голямо от 0. Не знаем кой случай да използваме. Едно нещо, което можем да осъзнаем, е да разгледаме тези функции и да видим, че косинус от х е ограничена функция. Косинус от х се движи само между +1 и –1. Значи –2 по косинус от х може да приема стойности само между +2 и –2. Никога няма да достигне –3. Ако нещо ще достигне до –3, то трябва да е тази част от производната, или тази част от функцията на производната. Значи трябва да е това тук. Да се надяваме, че има някакви стойности на х > 0, за които това нещо тук е равно на –3. Хайде да проверим. –4 по е на степен –4х трябва да е равно на –3. Можем да разделим двете страни на –4. Получаваме, че "е" на степен –4х е равно на –3, което делено на –4 е равно на 3/4. Можем да логаритмуваме двете страни и ще получим –4х е равно на натурален логаритъм от 3/4. Само да поясня, това, което направих тук, можеш буквално да напишеш тук натурален логаритъм и тук, и можеш да сложиш натурален логаритъм тук, също така да видим тази стъпка. Тук се казва коя е степента, на която трябва да повдигнем е, за да получим е на степен –4х. Очевидно, просто трябва да повдигнем е на степен –4х. Значи тази степен е –4х. После просто взимаме натурален логаритъм от дясната страна. За да намерим х, можем да разделим двете страни на –4. Получаваме х е равно на... или можем да умножим двете страни по –1/4, и по двата начина... –1/4 натурален логаритъм от 3/4. И сега само трябва да направим проверка за това х. Използвахме този случай тук, но трябва да се уверим, че можем да използваме този случай, че това х е по-голямо от 0. И може да се изкушим, когато погледнем това, да кажем, че това изглежда като отрицателно число. Но да си припомним, че натурален логаритъм от 3/4, понеже 3/4 е по-малко от е, натурален логаритъм от 3/4 ще бъде отрицателно число. Този степенен показател трябва да е отрицателно число. И понеже това е отрицателно, и тази част тук е отрицателна, имаме отрицателно по отрицателно, така че тук получаваме положително. Това тук е положителна стойност. Можеш да използваш този случай ето тук. Това е отговорът: х е равно на –1/4 по натурален логаритъм от 3/4. Или производната, за нея можем да запишем, че f'от минус 1/4 по натурален логаритъм от 3/4 е равно на минус 3. И сме готови.