2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 6c

Подточка с: "Намери средната стойност на f в интервала от –1 до 1." Средната стойност на една функция в даден интервал е равна на... просто ще напиша средно. Средната стойност на нашата функция е равна просто на интеграл в интервала от –1 до 1 от f(х) dx, разделена на промяната в х. Извинявам се, това е от –1 до 1. Промяната на х е 1 минус –1. Това ще е равно на 1/2 по интеграла. Тук f(х) е частично определена. Сега можем да разделим интеграла на два интеграла. Можем да кажем, че интеграл от f(х) от –1 до 0 от f(x)dx плюс... само ще го напиша по този начин, за да не трябва да преписвам 1/2. Ще използвам скоби – плюс интеграл от 0 до 1 от f(x) dx. Причината да разделя по този начин това е, че функцията има различни определения, това е частично определена функция. Тя е различна, когато х е по-малко или равно на 0, и е различна, когато х е по-голямо от 0. Затова го разделих по този начин. После получаваме, че това е равно на 1/2 по... слагам големи скоби ето така. Тази първа част ето тук, можем да запишем като интеграл от –1 до 0. Колко е f(х) между –1 и 0? Тя е 1 – 2 sin х, dx. И после плюс това нещо ето тук. Плюс интеграл от 0 до 1. Каква е функцията между 0 и 1? Тя е "е" на степен –4х, dx. Можем да решим всеки от тези интеграли отделно. Това е равно на 1/2... отново, ще отворя една голяма скоба ето тук. Писалката ми се разхлабва, ще я стегна малко по-добре. Готово. Продължаваме. Значи 1/2, отварям скоби. Сега да намерим примитивната функция на 1 – 2sinx, примитивната функция на 1 спрямо х е просто х. После имаме –2 sin х. Добре, производната на косинус х е минус синус от х. Това ще бъде просто 2 по косинус от х. Можеш да провериш това. Производната на косинус х е равна на минус синус х. Отпред имаме 2, така че –2 по синус х. Ще изчислим това за нула и за –1. И към това ще добавим... ще сметна определения интеграл ето тук. Примитивната функция на е на степен –4х, е равна на –е на степен –4х върху 4. Начинът да разсъждаваме е, че ако това е "е" на степен х, тогава примитивната функция е просто "е" на степен х. Ако имаме "е" на степен –4х, тогава знаем, че каквато и да е примитивната функция, това всъщност е равно на "е" на степен –4х. Но когато намираме производната, трябва да намерим производната на частта –4х заради правилото за производна на сложна функция. Така тук се появява –4. Но тук не виждаме –4, затова ще трябва да разделим на –4 и те се съкращават. Друг начин да разглеждаме това е, че можем да преработим това нещо. Това е равно на e на степен –4х dx. Точно това е нашата задача, това, на което трябва да намерим определения интеграл. И сега става съвсем ясно. Производната на това е ето тук, можем да сложим –4 тук. Но не можем просто хей така да сложим тук –4. Трябва да сложим –1/4 отвън, за да стане –1/4 по –4, все едно умножаваме по 1, което не променя стойността. И тогава тук ясно се вижда, че това тук е производната на e на степен –4х. Значи това е "е" на степен –4х. Примитивната функция на това е "е" на степен –4х. После имаме –1/4 ето тук. И по двата начина, надявам се, че това е ясно. Разглеждахме това по-подробно в предишни уроци по математически анализ. После това от... ще го изчислим за 1 и за 0, а после ще затворим скобите. Какво имаме тук? Това е равно на 1/2. Отново отварям скоби. Ако изчислим това за х = 0, получаваме 0 + 2 по косинус от 0. Косинус от 0 е 1. Значи получаваме 2, когато го сметнем за 0. Получаваме 2. После от това ще извадим полученото, когато го сметнем за –1. Искаме да извадим –1 + 2 по косинус от –1. Цялото това нещо тук е равно на ето това тук. И после имаме плюс. Искаме да го сметнем за 1. Получаваме –е на степен –4. Защото –4х, когато х е 1, става –4. Върху 4. И от това трябва да извадим това нещо, изчислено за 0. Това става –е на степен 0 върху 4. е на степен 0 е 1. Значи е просто –1/4. И повтарям, че това е умножено по 1/2. И сега само трябва да го опростим. Това е равно на... тук пишем 1/2. Това е равно на 1/2 по – ще взема нов цвят. Ще взема – няма много различни цветове. Добре. Това е равно на 2 плюс 1. Това плюс това е равно на 3. Имаме този знак минус отвън. Затова става плюс 1. После имаме минус по +2. Значи –2 косинус от –1. И после плюс... или може би трябва да кажа минус... минус е на степен –4 върху 4. И после имаме плюс 1/4. Сега затваряме скобите. И една последна стъпка за опростяване. Можем да съберем 3 и 1/4. 3 е равно на 12/4. 12/4 плюс 1/4 е 13/4. Получихме 13/4 минус 2 по косинус от –1 минус е на степен –4 върху 4. И отпред имаме това 1/2. Това не е най-хубавото или просто нещо, но е нашият отговор. Това е средната стойност на f(х) в този интервал.