2011 Математически анализ - част 2; свободен отговор 1 (b & c)

Подточка b: "Намери наклона на допирателната права към пътя на частицата в момента t = 3. Наклонът на допирателната е просто равен на скоростта на изменение на у спрямо х в тази точка. Това е същото като dy/dt върху dx/dt. Работата с диференциали е малко странна, особено ако искаме да сме много точни, но можеш да ги разглеждаш като много малки промени на у, малки промени на t, малки промени на х, малки промени на t. Когато ги разглеждаш по този начин, можеш да кажеш: "Ако просто умножа и двете, и числителя, и знаменателя по dt/dt" – които можеш да разглеждаш като много малки промени, тогава те се съкращават, и ще получиш отново dy/dх. Причината да го напиша по този начин е, че те всъщност са ни дали тези стойности. Дали са ни dy/dt и dx/dt. Така че, ако искаш да намериш наклона в момента t = 3, трябва само да намерим dy/dt и dx/dt в момента t = 3. dy/dt в момент t = 3 е това dy/dt ето тук. То е просто синус от 3 на квадрат, или синус от 9. dx/dt в t = 3 е просто – казват ни, че dx/dt е функция от времето. 4 по 3 плюс 1. Това е равно на 13. Сега можем да вземем калкулатор и да сметнем това. Свършихме доста от работата в първата подточка. Сега можем да използваме резултата. Имаме синус от 9, делено на 13, което е 0,0317. И сме готови. Това е наклонът на допирателната към пътя на частицата в момента t = 3. Мисля, че имаме време и можем да решим и подточка с. Подточка с: "Намери местоположението на частицата в момента t = 3." Дават ни x'(t) и също така ни дават y'(t). Това е х'(t). Това е у'(t). Трябва да намерим х(3) и у(3). Ако можем... да намерим x(t) и y(t) и после да се опитаме да ги сметнем за 3. Да видим, х(t) е равно на примитивната функция на това ето тук. Примитивната функция от 4t е равна на 2t^2. Ако намерим производната на това, тя е 4t. Примитивната функция на 1 е t, плюс t, и после имаме плюс някаква константа. Принципно, просто намираме неопределен интеграл от тази страна, от 4t +1. Тук имаш константа. Защото като намериш производната, тази константа очевидно ще изчезне. Ще изгубиш тази информация. За наш късмет, са ни дали първоначално условие. х(0) е 0, когато t = 0, тогава този член ще бъде 0 и този член ще бъде 0. И ни казват, че цялото нещо ще е равно на 0. Значи с също ще е 0. Да направим това подробно, за да не се объркаме. Значи х(0) ще е равно на 0 плюс 0, плюс с, което ни казват, че е равно на 0. Значи с е равно на 0. Това ни казва, че x(t) ще е равно на 2t^2 + t. Ако искаме да намерим х(3), тогава просто ще сметнем това тук. За да намерим х(3), то е 2 по 9 плюс 3. 2 по 9 е 18, плюс 3 е 21. Значи х(3) е равно на 21. Сега да опитаме да намерим у(t). Ще използвам различен цвят. Ще сляза малко надолу. Да кажем, че у(t) е равно на... ако опиташ да намериш примитивната функция на това, тук не е никак лесно да се намери примитивната функция. Всъщност е много трудно да се направи аналитично. Даже не е сигурно, че може да стане аналитично. За наш късмет в тази част на изпита е позволено да се използват калкулатори. Така че просто можем да кажем, че е равно на... това следва от фундаменталната теорема на математическия анализ – y(t) е равно на интеграл от 0 до t. Просто ще го запиша като синус от х^2, dx. Не искам тук да имам t тук, и после да използвам t и тук. Това може да го направи объркващо. Значи интегрираме спрямо х, а после една от горните граници ще бъде t. И това е y(t). Тук, разбира се, трябва да сложиш константа, защото когато намираш производната на това, ще получиш у(t) и ще изгубиш информацията за тази константа. Сега можем да намерим колко е тази константа, защото са ни дали колко е у(0). Значи у(0) е равно на интеграл от 0 до 0. Значи тази част ето тук ще бъде равна на 0. Значи това ще е равно на с, което ни казва, че y(0) също е равно на –4. Значи получаваме, че у(t) е равно на интеграл от 0 до t, от синус от х^2, dx минус 4. Това е у като функция от t. Вече разбрахме колко е х(3). Сега искаме да намерим колко е у(3). у(3) е равно на интеграл от 0 до 3 от синус от x^2,dx и после –4. Отново, за наш късмет, можем да използваме калкулатор. Ще взема калкулатора и искам да отида до списъка с функции. Натискам 2nd Custom, което ни отваря този списък тук. И искам да сметна този определен интеграл. Това всъщност е FN INT. Ще отида на F. FN INT. Трябва да сляза малко надолу. Още малко. Ето така. Това е функцията, която искам да използвам. Това е определен интеграл, а после искам да сметна определен интеграл от това ето тук. Значи функцията ще бъде синус от х^2... това е нещото, което искам да сметна, определен интеграл от 0 до 3. Променливата ми – искам първо да видя коя е променливата на интегриране – променливата на интегриране е х, и интервалът е от 0 до 3. Така получавам – нека да помисли малко калкулатора – 0,77356, а после към това – това е просто тази първата част ето тук. После трябва да извадя 4. Значи минус 4 и получавам –3,226, ще го взема до тук. Значи това е равно на –3,226. Вярно ли го преписах? Имам лоша памет. –3,226, и сме готови. Значи у(3) е равно на –3,226. Местоположението на частицата в момента t = 3, ако искаме да го представим като координати, е (21; –3,226).