If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:34

Изпит по математически анализ (2), примерни въпроси

Видео транскрипция

Подточка d: "Намери разстоянието, изминато от частицата в интервала от време между t = 0 и t = 3, или 0 по-малко или равно на t и t по-малко или равно на 3." Ще начертая тук координатни оси, само за да сме сигурни, че... не е задължително да го правиш, ако времето не ти достига на самия изпит, но идеята ми е да сме сигурни, че разбираме какво се случва. В момент t = 0 къде се намираме? Казват ни, че x(0) е 0, значи х е 0, и у(0) е –4, значи сме в точката (0; –4). Това е в момента t = 0, а в последната подточка намерихме какво се случва в t = 3. Установихме, че х е 21. Мога да кажа, че това ето тук е 21, х(3) е 21, а у(3) беше –3 цяло и нещо, значи сме някъде точно тук. Това е 21, а в предходната подточка установихме, че това е –3,226. Това се случва, когато t = 3. Но какъв е пътят между тези точки не знаем. Можем да го начертаем, ако искаме, вероятно ще изглежда ето така, не знаем какво се случва, може би ето така. В тази подточка d ни питат: "Колко е изминатото разстояние?" Друг начин да разсъждаваме за това е: Каква е дължината на този път? Има формула за дължината на дъгата и ако я знаеш, можеш просто да я използваш. Не е лошо нещо да я знаеш за изпита, особено когато времето те притиска. Но аз винаги я забравям, сега съм почти на 35 години, и затова обичам да я извеждам отново, като има нещо много удовлетворяващо в това, защото ми припомня защо работи формулата. Как да намерим една малка част от дължината на дъгата? Всъщност нека да разгледаме другата част, която повече ми харесва. Да се запитаме: Как да намерим тази малка част от дължината на дъгата ето тук? Да кажем, че имаме малка част от дължината на дъгата, която... ще увелича малко тази част. Имаме една малка промяна на х за дължината на дъгата, която увеличих, ще я означа с dx, и имаме малка промяна на у, това е dy. Знаем от питагоровата теорема, че ако имаме достатъчно малка промяна, можем да апроксимираме тази част, това е хипотенузата, това е основата, това е височината, и това е хипотенузата. Това ще бъде, особено ако е достатъчно малко, кривата ще бъде... на практика можеш да апроксимираш тази дъга чрез хипотенузата ето тук. Това следва от питагоровата теорема. Това ще бъде квадратен корен от (dx)^2 плюс (dy)^2, директно следва от питагоровата теорема. Как да запишем тези като функции на t? Знаем, че dx/dt е равно на x'(t), или ако разглеждаме диференциалите като числа, което не е много точно, но можеш да приемеш, че dx е равно на x'(t)dt и знаем, че dy(t) или dy/dt, знаем, че това е равно на производната на у спрямо t, y'(t). Умножаваме двете страни по dt и получаваме dy = y'(t) dt. Тук просто извеждам наново формулата за дължината на дъгата. Знаем, че това тук е просто малка част от дължината на дъгата, така че можем да означим това като dL или da, малка част от дължината на дъгата. Всъщност няма значение как ще го означим. Но този израз за дължината на много малка част от дъгата, ако го преработя и изразя чрез това и това, което имам от дясната страна, а искам да го направя, за да е изразено всичко чрез t, получавам, че това е равно на квадратен корен от (dx)^2. (dx)^2 е равно на – ще го напиша в цикламено – на (x'(t) dt) на квадрат, и после имаме плюс dy на квадрат, като dy на квадрат е равно на (y'(t) dt) на квадрат. Това е дължината на тази малка дъга ето тук, после можем да изнесем пред скоби dt на квадрат, и това става равно на (dt)^2 по x'(t) на квадрат плюс (ще използвам зелен цвят за това) пляс y'(t) на квадрат. И после мога да изнеса dt пред знака за корен. Квадратен корен от dt на квадрат е равно просто на dt. Всичко това се опростява до – ще го напиша в жълто – тази част ето тук е x'(t) на квадрат, тази част тук е y'(t) на квадрат, и изнасяме отпред dt. Това е просто начин да изведем формулата за дължината на тази малка дъга. Но ние не търсим само тази малка дължина, ние искаме да намерим сбора на всички такива малки части, затова ще интегрираме по dt, ще вземем крайната сума на тези безкрайно малки части ето тук, тези безкрайно малки дължини на дъгата от t = 0 до t = 3. Да го направим. Дали са ни колко са x'(t) и y'(t). Само да препиша израза. Това е равно на интеграл от 0 до 3 от квадратен корен от x'(t) на квадрат. В условието ни е дадено, че x'(t) е равно на 4t + 1. Значи (4t + 1) на квадрат плюс y'(t) на квадрат... производната на у спрямо t е равна на синус от t^2, и после цялото на квадрат, после dt. Не е лесно да се намери примитивната функция на това, но за щастие ни е позволено да използваме калкулатор на изпита. Всичко, което трябва да направиш сега, след като свършихме трудната част, е да използваш функцията за определен интеграл. Тя е в списъка ето тук, и можеш да отидеш направо на F и надолу. Трябва да намерим определен интеграл от квадратен корен от, ще го въведа като х, защото бутонът за х е много по-удобен, отколкото ако оставя променливата да бъде t. Значи квадратен корен от (4х + 1)^2 плюс sinх^2. Тук вместо t пиша х, просто да обясня какво правя. После искаме това на квадрат, затварям скобите, и после затварям скобите за корена ето тук. Искам да кажа, че променливата на интегриране е х, Можех да използвам тук t и да въведа като променлива за интегриране t, това няма значение, а после имаме интервал от 0 до 3. И сега изчакваме калкулаторът да си свърши работата, това отнема известно време. Получаваме 21,091. Значи това е равно на 21,091, което е дължината на цялата крива. Това е дължината на пътя, изминат от частицата.