2011 Математически анализ - част 2; свободен отговор 3 (b & c)

Подточка b. "Областта R е завъртяна около оста х и се получава тяло. Намери обема V на тялото, изразен чрез к." Значи това е нашата област R, и тя е завъртяна около оста х. Завъртяна е около оста х, при което се образува тяло. Това тяло ще изглежда приблизително така. Това ще е този край на тялото, когато бъде завъртяна около оста, тялото ще изглежда ето така. Ще се постарая да дам всичко от себе си, за да начертая тялото. После тази страна ще изглежда ето така. Изглежда малко като високоговорител. Ще го щриховам малко. Това е нашето тяло и ти можеш да си представиш, че ето тук например е нашата ос у. Това е оста у. Точно през центъра на тялото преминала оста х. Ако тялото е леко прозрачно, можеш да видиш от другата страна този "отвор", и оста х минава точно през центъра. Как да намерим обема на това тяло? Можем да го разделим на отделни дискове ето тук. Да го разгледаме по този начин. Да вземем един диск ето тук. Ще взема един диск тук, така че да си представим напречното сечение. Това е едно напречно сечение на това тяло. Този диск тук ще има някаква площ на тази страна, и после ще има някаква дебелина – ще направя ръба. Представи си тази дебелина като един вид ръба на монета, а външната повърхнина е лицето на монетата, площта на лицето на монетата. Колко ще бъде обемът на този бял диск ето тук? Това ще бъде площта на лицето на диска по дебелината му. Колко е площта на лицето на този диск? Площта на кръг е равна на π по квадрата на радиуса. Това е равно на π по... а колко е радиусът? Радиусът е височината между оста х и графиката на функцията. Значи този радиус е равен на е^2х. Площта на всеки от тези дискове, за тази височина ето тук, за тази стойност на х, е равна на π по е^2х на квадрат. За да намерим обема на диска умножаваме лицето по дебелината, значи по dx. Значи това е обемът на този малък диск тук, който има нищожно малка дебелина. Сега ще съберем обемите на всички тези дискове. Искаме да имаме голям брой дискове, като ще съберем обемите на всички тях. Значи имаме безкрайна сума от тези безкрайно тънки дискове. Сумираме всички тези обеми от х = 0 до х = к. Нали? Защото ето тук х е равно на к, а тук х е равно на 0. Сумираме всички дискове и ще получим действителния обем. Можем да решим този интеграл аналитично, което не е лошо. Защото, или... ще го преработя. π по... е^2х на квадрат е равно на e^4х, просто 2х по 2. После намираме интеграл, може да успееш да го направиш само като го разгледаш, но ако искаш да кажеш: "Тук имам тази функция, искам нейната производна тук, затова мога да умножа този израз по 4, и да разделя на 4. Ако умножим и разделим нещо на 4 едновременно, стойността не се променя, все едно умножаваме по 1. Но това ни дава... ще го преработя малко. Можем да го представим като π/4 по 4е^4х. Само преработих това. Умножих и разделих на 4, умножих и разделих на 4. Направих това, защото така имаме производната на 4х ето тук, имаме това 4. π/4 е константа, така че можем да го изнесем пред интеграла. Можем да кажем, че този израз ето тук е същият като този израз ето тук, π/4 по интеграл от 0 до к, от 4е^4х, dx. Цялата причина да умножа и да разделя на 4 е да получа тук това, неговата производна. Мога да се престоря, че това е равно на е^х, и да намерим интеграла, да намерим примитивната функция спрямо 4х. Значи вътре е е^4х. Можеш да направиш проверка, ако намериш производната на е^4х, това е производната на 4х, която е 4, по е^4х. Това тук е примитивната функция на ето това. И сега ще го сметнем от 0 до к. Всичко това е по π/4. Когато го сметнем за к, това е равно на е^4к. Това е равно на π/4 по е^4к минус "е" на степен 4 по 0, което е "е" на нулева степен, което е –1. Значи това е обемът: π/4 по (е^4к) –1. Това е подточка b. Решихме я. Сега подточка с. Мисля, че ще имаме време. Обемът V, намерен в подточка b, се променя, когато се променя к. Ако dк, производната на к спрямо t е равна на 1/3, определи производната на V спрямо t, когато к = 1/2. Това следва директно от правилото за производна на съставна функция. Това правило ни казва... ако разглеждаме диференциалите като много, много малки числа, което е доста логично, струва ми се, скоростта на изменение на V, значи много малка промяна на V спрямо много малка промяна на t е равна на много малка промяна на V спрямо много малка промяна на к по много малка промяна на к, делена на много малка промяна на t. Или производната на V спрямо t е равна на производната на V спрямо к по производната на к спрямо t. Причината да кажа, че това е логично, ако разглеждаме диференциалите като много малки числа, е, че ако... това не е много правилен начин да го направим, но е логичен начин да осмислим нещата, че тези тук биха се съкратили, ако те бяха числа, и тогава ще имаме dV/dt от двете страни. Затова казах, че това е донякъде въпрос на чиста логика. Можеш да го разглеждаш по този начин. Но това на практика ни дава всичко, което ни е нужно да знаем. Сега искаме да намерим dV/dt. Дали са ни, че dк/dt е равно на 1/3, когато к = 1/2. Така че те ни дават скоростта на изменение на к спрямо t. Вече знаем, че това ето тук ще бъде 1/3. Можем да намерим производната на V спрямо к много лесно, защото имаме V като функция от к ето тук. Да го намерим. Производната на V спрямо к е равна на π/4 по производната на това тук. Производната на това е просто 4е на степен 4к. Производната на –1 е 0. Това става 4е^4к, това е производната. Тези се съкращават. Става равно на π по e^4к, което е производната на V спрямо к. Искаме да го намерим за к е равно на 1/2, така че можем да напишем V' (1/2) или когато к е равно на 1/2, dV/dк е равно на π по е на степен 4 по 1/2, което е равно на π.е^2. Тази част ето тук е π.е^2. Производната на V спрямо t, когато к = 1/2 и производната на к спрямо t, която е 1/3, това е просто π по е^2 по 1/3. Само ще преработя това. Значи dV/dt ще е равно на 1/3 по това, или можем да го напишем като (π.е^2)/3. И сме готови.