If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:41

Изпит по математически анализ (2), примерни въпроси

Видео транскрипция

Трета задача. Нека f(х) да е равно на е^2х. Нека R да е област в първи квадрант, ограничена от графиката на f, координатните оси и вертикалната права х = к." Даден ни е този чертеж. На самия изпит е даден отгоре. Но аз го слагам отдолу, за не губим място на екрана. Тук можеш да видиш, че това е графиката на f(х), това е правата х = к, а тази област R е между тях, и тя е в първи квадрант. Това тук е областта R. Какво се пита в задачата? "к е по-голямо от 0, областта R е показана на чертежа." Това е чертежът. Подточка а. "Запиши, без да изчисляваш, израз, който съдържа интеграл, който описва обиколката на R, изразена чрез к. За обиколката на R трябва да намерим дължината на страните на участъка R, и най-трудното от тези е да намерим дължината на самата крива между тази точка и тази точка ето тук. Искам, както обикновено, да изведа формулата за дължина на дъгата, въпреки че ако ти предстои да се явяваш на изпита, вероятно не пречи да я научиш наизуст, за да спестиш време. Но винаги трябва да помниш как се извежда, за да можеш, когато си на 35 години и нямаш подръка учебник по математически анализ, да си я изведеш самостоятелно. Знаеш откъде идва формулата. Хайде да я изведем. Да увеличим една малка част от кривата ето тук. Ще увелича тази част от кривата ето тук. Сега можем по същия начин, по който извеждаме формулата за дължина на кривата, когато тя е дефинирана параметрично, което мисля, че направихме в първата част задачи от този изпит. Този път обаче не е дефинирана параметрично, така че ще я изразим само чрез х и у. Ако разгледаме тази дължина ето тук, това ще бъде една много малка промяна на х. Да я означим с dx. После това тук ще бъде много малка промяна на у, означаваме я с dy. Знаем, че dy, производната на у спрямо х, или dy/dx, е равно на f'(х). Ако умножим двете страни на равенството по dx, знаем, че dy = f'(х)dx. Значи това е равно на f'(х)dx. После за една много малка промяна на х и много малка промяна на у можем да апроксимираме дължината на кривата с питагоровата теорема. Ако сме взели достатъчно малка дължина, тя вероятно директно съвпада с дължината на кривата. Значи тук използваме питагоровата теорема. Тази дължина ще е равна на корен квадратен от (dx)^2 + (dy)^2. Ако запиша dy по този начин, дължината на кривата ето тук, дължината на тази малка част от кривата, ще бъде равна на, ето тук точно, на квадратен корен от (dx)^2 плюс... това е dy... плюс (f'(х))^2 по (dx)^2 Тук само повдигнах това на квадрат – dy на квадрат е равно на това тук. И сега малко ще удължа знака за корена. И точно както направихме, когато функцията беше дефинирана параметрично, можем да изнесем това (dx)^2 ето тук. Това ще е равно на корен квадратен от... ако изнесем (dx)^2 от тук, получаваме 1. Изнасяме (dx)^2 от тази част, плюс f'(x) на квадрат. Изнасяме (dx)^2 от знака за корен, и то става само dx. Това е дължината на тази малка част от кривата ето тук, която ще е даже още по-малка от това. Тя е нищожно, нищожно малка част от кривата. Можем да я означим като da ето тук. И сега ще съберем всички тези малки сегменти от кривата. Ще ги сумираме от х = 0 до х = к, защото интегрираме спрямо х. Значи дължината на тази крива тук... ще запиша това, което искат да намерим: търсим периметъра на участъка R, който е равен, първо, на тази част. Това е интеграл от 0 до к, х = 0 до х = к, от квадратен корен от 1 + ... и f'(х). f(х) е равно на е^2х. f'(х) е равно на производната на това спрямо х, която е 2е^2х. Производната на 2х е 2. Производната на е^2х спрямо 2х е равна на "е" на степен 2х. Значи става 2е^2х, повдигаме това на квадрат, защото това е f'(х), но искаме f'(х) на квадрат. И това става 4е^4х. Разбира се, имаме и dx. Това е дължината на тази крива, това беше трудната част. Сега само ще добавим останалите части от обиколката. Имаме тази малка част ето тук. Тази дължина е 1. Стигаме от 0 до 1, значи плюс 1. После имаме тази част по оста х. Тази дължина е равна на к. Плюс к. И накрая имаме тази височина ето тук. Това е дължината на f(к), или това е е^2к. Плюс е^2к И сме готови. Намерихме периметъра на R, като не се иска да го изчисляваме. Решихме първата подточка.