2011 Математически анализ - част 2; свободен отговор 6a

Шеста задача. "Нека f(х) = sin(х^2) + cosх. Графиката на y равно на абсолютната стойност на петата производна от f(х) е показана по-горе." Не съм я показал тук, за да имам повече място. Ще я покажа, когато ни е необходима. Мисля, че ще ни трябва в подточка d. Но първо да решим подточка а. "Запиши първите четири члена от реда на Тейлър, различни от нула, за синус от х, центриран около х = 0. Запиши първите четири члена от реда на Тейлър, различни от нула, за sin x^2, центриран около х = 0." Да решим тази подточка. Само да припомня, че ред на Тейлър е полиномна апроксимация на функция. Само набързо да ти припомня. Разглеждаме това с много повече подробности във видеоуроците за ред на Тейлър. Ако имаш подобна функция, и ако искаш да я апроксимираш с ред на Тейлър, центриран около 0, ако имаш само един член на реда на Тейлър, тогава ще имаш просто... това ще бъде една константа, ето така. Ако имаш два члена в реда на Тейлър, това ще бъде една права като тази. Ако имаш три члена в реда на Тейлър, ще имаш член от втора степен. И ще апроксимираш приблизително ето така. Ако достигнеш до член от трета степен, може да започне да изглежда ето така. Когато добавяш още и още членове, се получава по-добра апроксимация на твоята функция. Ако прибавиш безкраен брой членове, може да започне да съвпада с твоята функция. Само да си припомним, ако имаме функция... ако имам f(х) и този ред на Тейлър, тогава мога да апроксимирам функцията с реда на Тейлър. Ако искаме тази апроксимация да е центрирана около 0, това ще е равно на f(0).х + f'(0). Производната за х = 0 по х плюс втората производна за х = 0 по х^2 върху 2 факториел. Можеш да разделиш този член ето тук на едно факториел, което е просто 1. Две факториел е просто 2. После плюс третата производна на f за х = 0 по х^3 върху 3! Плюс четвъртата производна – мисля, че разбираш идеята, четвъртата производна за х = 0 по х^4, делено на 4! и така натакък. От нас искат да намерим първите четири члена, различни от 0, от реда на Тейлър за функцията sinx. Може би вече знаеш това. Реално ние сме го правили във видеото, в което показах равенството на Ойлер. Но ще го направим отново сега. Ако просто вземем... ще я означа като g(х), защото вече тук сме дефинирали f(х). Нека това g(х) – ще взема нов цвят, за да не е толкова монотонно. Нека g(х) да е равно на синус от х. После знаем, че g(0) е равно на 0. Ако намерим производната, g'(х) ще е равна на минус... не, това е плюс косинус от х. g'(0) сега ще бъде равна на 1. Косинус от 0 е 1. Ако вземем втората производна, производната на косинус от х е минус синус от х. Втората производна за х = 0 отново ще е равна на нула, синус от 0 е 0. Да намерим третата производна на функцията g. Производната на –sinх е равна на –cosх. Третата производна за х = 0 е равна на –1. И можем да продължим така. Сигурно вече се досещаш накъде води това, но аз ще продължа още малко, просто за всеки случай. Четвъртата производна отново ще е равна на sinх. Четвъртата производна за х = 0, понеже съвпада с функцията, също ще бъде 0. Това ще е равно на четвъртата производна на g за х = 0. И така продължаваме. Това ще е равно на петата производна на g, защото се получава цикъл, когато добавяме още и още производни. Това ще е равно на петата производна за 0. Това ще е равно на шестата производна за нула. Това ще е същото... Тук е знак за равенство, равно на 1. Това ще е равно на седмата производна за х = 0. За да определим първите четири члена, различни от нула, нека да ги разгледаме. Първо, f(0)... ще взема нов цвят. Ако искаме да апроксимираме g(х), ако искаме да апроксимираме sinх, можем да кажем, че sinх ще е приблизително равно на... Първият член тук е sin(0), това е g(0). Това е равно на 0, няма да го пишем даже. После идва този член тук. Първата производна, f'(0) – в този случай g'(0) ще е равно на 1. Значи става 1 по х. Тук ще имаме х. Следващият член е 0. Виждаме го ето тук. Понеже втората производна на функцията, сметната за 0, е 0. Третата производна на функцията, сметната за 0, е 1. Значи този член ще се появи отново. Всъщност членът е –1. Не искам да допускам грешка. Това е –1. Беше минус косинус от х. Смятаме минус косинус от х за 0 и получаваме –1. Третата производна, това тук, е –1. След това имаме –х^3 върху 3! Четвъртата производна пак е 0. Петата производна, изчислена за 0 е равна на 1. След това имаме плюс 1 по х^5 върху 5! Шестата производна е 0. Този член изчезва. Дори няма да го записвам тук. После седмият член, коефициентът е –1. Седмата производна за 0 е –1. Имаме –1 по х^7 върху 7! И така стигаме до члена от седма степен, за да намерим първите четири члена от реда на Тейлър, които са различни от 0. С това сме готови с първата част. Намерихме първите четири члена на sinх, различни от нула. А за sinх^2? Тук трябва да внимаваме. Защото може да решиш да приложиш тази формула. И много бързо ще установиш, че когато намираш втората и третата производна на това ето тук, че нещата стават супер сложни. Но може да си кажеш: "Гледай, синус х е приблизително равно на това. Какво ще се случи, ако заместя х с x^2? Тогава получавам, че x^2 е приблизително равно на... вместо х тук слагаме х^2. Вместо х^3 тук става (х^2)^3 върху 3 факториел. Вместо х^5, става (х^2)^5 върху 5! Вместо х^7 става (х^2)^7 върху 7 факториел. Много е важно да разбереш това, защото ако започнеш директно да записваш реда на Тейлър около 0 за това ето тук, ще загубиш страшно много време, за да намираш производните. И вероятно все пак няма да успееш, защото ще стане голяма каша. Основното тук е да се досетиш да заместиш x^2 с х, и тогава ще получиш апроксимацията за sin х^2. Можем малко да опростим това. Това е приблизително равно на х^2 – х^6/3! + х^10/5! –х^14/7! Това беше втората част на тази задача.