2011 Математически анализ - част 2; свободен отговор 6c

Подточка с: "Намери стойността на шестата производна на f, изчислена за 0." Досещаш се, че ако просто се опиташ да намериш шестата производна на f, това ще продължи до безкрайност. И после да я изчислиш за 0, защото това тук е х^2. Ще трябва да прилагаш правилото за производна от степен отново и правилото за производна на сложна функция и така нататък. Ще стане много, много усложнено. Но тук имаме една подсказка. Фактът, че ни накараха да намерим първите четири члена от реда на Тейлър за f около х = 0, означава, че може да има и по-лесен начин да направим това, а не просто да намерим шестата производна и да я сметнем за 0. Най-простият начин да го направим е просто да се върнем назад. В последната задача успяхме да намерим първите четири члена, различни от нула от реда на Тейлър за f. Ако разгледаш определението на реда на Тейлър ето тук – разглеждаме това в дълбочина в друго видео в Кан Академия, където обсъждаме каква е логиката, и можеш да видиш, че за всеки член от реда на Тейлър неговият коефициент е тази производна. Този ред на Тейлър е центриран около 0, и това именно ни интересува в тази задача. Виждаме, че коефициентът е тази производна, делена на..., че производната, изчислена за нула е разделена на факториел от същата степен. Значи членът от втора степен е втора производна на f, изчислена за 0 и разделена на 2! Членът от четвърта степен е четвъртата производна на f, изчислена за 0 и разделена на 4 факториел. Членът от шеста степен – да си припомним само какво търсим сега – трябва да намерим шестата производна на f, изчислена за 0. Това искат да намерим. Ако разгледаш реда на Тейлър, центриран около нула, или за нула, или апроксимиран около 0, членът от шеста степен в апроксимацията с ред на Тейлър на f ще бъде равен на f' от... шестата производна на f, изчислена за 0 по х^6 върху 6 факториел. Това е членът от шеста степен на апроксимацията с ред на Тейлър, от реда на Тейлър. И този член е ето тук. Това е членът от шеста степен, който намерихме в предната подточка. Ето това тук е членът от шеста степен. Значи имаме х^6 ето тук, х^6 ето тук, 6! ето тук, 6! ето тук. Значи –121 трябва да е шестата производна на f, изчислена за 0. Това е нашият отговор. Това е равно на –121. И сме готови.