2011 Математически анализ - част 2; свободен отговор 6d

Подточка d: "Нека р(х) с индекс 4 (р_4(х)) да е полином на Тейлър от четвърта степен за f около х = 0. Като използваш информацията от графиката за у равно на абсолютната стойност на петата производна на f(х), показана по-горе – ето това е графиката, поставих я отстрани, за да спестя място, докажи, че абсолютната стойност на разликата между полиномите... полином от четвърта степен, изчислен за 1/4 и функцията, изчислена за 1/4, че разликата е по-малка от 1/3000. Тази задача изглежда много интересна. Първо да помислим какво точно ни питат. Питат ни за разликата между полинома и функцията, изчислени за 1/4. С други думи искат от нас... искат да намерим границата на грешката за апроксимацията на функцията за х = 1/4. Ще направя една графика тук, само за да си го представим по-добре. Ако това е оста у... ще го начертая ето така. Това е оста у, а това е оста х. Да кажем, че нашата функция изглежда приблизително така. Нашият полином е центриран около 0. Нашият полином от 4-та степен е центриран около 0. И това трябва да е стойността на функцията за х = 0. След това вероятно апроксимацията става по-лоша, когато се отдалечаваме все повече от 0. И ни питат колко голяма е грешката при тази апроксимация, когато х е равно на 1/4. Ако кажем, че х = 1/4 ето тук, те ни казват да вземем стойността на полинома за 1/4, да извадим от него стойността на функцията за 1/4, а после да вземем абсолютната стойност, което на практика представлява абсолютната стойност на грешката. Или това ни дава абсолютната стойност на остатъка, или ни дава разстоянието между двете функции. И те искат да намерим границите на това разстояние. За да решим тази задача, има нещо, което трябва да знаем. Доказах го в друга група от видеоуроци – мисля, че бяха два видео клипа в курса по математически анализ на Кан Академия. Ако потърсиш граница на грешката или апроксимация на Тейлър, вероятно ще ги намериш. Има един общ принцип, който доказахме, че ако имаме една функция – ще покажа принципа – ако имаме някаква функция f(х) и някаква апроксимация с полином на нея от n-та степен... Да приемем, че тази апроксимация с полином е центрирана в а. В нашия конкретен случай а е равно на 0. Значи е центрирана в а. Можем да напишем... можем да кажем, че това е около а. Това е апроксимация около х = а. И можем да намерим границата на грешката. Първо ще дефинирам функцията на грешката. Понякога тя се нарича остатък. Можем да кажем, че функцията на грешката за полином от n-та степен около а – апроксимация с полином на Тейлър от n-та степен около а – това ще е функция от х. За всяко друго х, което изберем, каква ще бъде тази грешка? Това е равно на разликата между тези две неща. Можеш да кажеш, че това е f(х) минус това или това минус f(х). Ще го напиша по следния начин. Това е равно на f(х) минус апроксимацията с полином на х. И ако вземем абсолютната стойност на това, това е равно на абсолютната стойност на това. Ако вземеш абсолютните стойности, тогава можеш да размениш местата. Това е равно на абсолютната стойност на апроксимацията като полином на х – f(х). Това, което искаме да знаем, е, че можем да намерим граница на това. Можем да намерим границите, ако знаем някои свойства за n + 1. Това е апроксимация от n-та степен. Ако знаем някои свойства за (n + 1)-вата производна на f. Ако знаем, че (n + 1)-ата производна на f е по-малка или равна на някаква максимална стойност, по-точно, че абсолютната стойност на (n + 1)-ата производна на f е по-малка или равна на – можем да кажем някаква максимална стойност в интервала, когато х е в интервала между а и някакво b, като b е по-голямо от а. Тогава можем да твърдим, че – и това отново е нещо, което доказах в онова видео. Мисля, че тогава го нарекох ограниченост на грешката на остатъка при апроксимацията с ред на Тейлър. Нещо такова. Тогава знаем, че функцията на грешката за всяко дадено х, където х е по-голямо или... ще го кажа конкректно. всяко дадено х, което принадлежи на този интервал между а и b, ще бъде по-малко или равно на М по (х – а) на степен (n + 1) върху (n + 1). (в знаменателя е факториел, по-късно Сал го уточнява) Това е нещото, което трябва да знаеш предварително, за да можеш да решиш тази подточка. Почти невъзможно е в ограниченото време на изпита да изведеш това от началните принципи. Препоръчвам ти да гледаш това видео, така че да разбереш как това доказателство следва от тези принципи. Но на самия изпит, въз основа на факта, че тази задача е дадена на изпита през 2011 г. вероятно е добре да знаеш това свойство, за да можеш да намериш границите. А точно това се иска в задачата, защото са ни дали... ние знаем колко е... знаем колко е р_4. р_4 от х е апроксимацията с полином от 4-та степен на f около 0. В подточка b ние намерихме членовете до 6-та степен. Така че ако вземеш само тези до 4-та степен, това е p_4. Това е 1 + х^2 върху (2 + х)^4 върху 4. Знаем това. И искаме да намерим границите. Ако можем да намерим М... това е полином от четвърта степен. Това е грешката от четвърта степен, която ни интересува. Ще го запиша ето така. Това е n-тата грешка в общия случай. Ние търсим границите на грешката от 4-та степен. Ако искаме да намерим границите на тази грешка от 4-та степен, можем да кажем, че грешката от 4-та степен за b... В този случай ще кажем, че... или по-скоро за 1/4, не за b. Преди не съм споменавал b. Използвах b при доказателството. Грешката от 4-та степен за 1/4 е по-малка или равна на... споменах b тук, така че това трябва да е 1/4, като 1/4 принадлежи на този интервал и можем да го използваме. Значи грешката от 4-та степен, предполагам, че можем да кажем, че за 1/4 ще бъде по-малка или равна на някакво М по b или мога да кажа 1/4 минус а. В този конкретен случай а = 0. Значи 1/4 минус е просто 0 на степен (n + 1) Значи това е полином от 4-та степен, n = 4, тогава (n + 1) означава на пета степен. Всичко това върху... съжалявам, това трябваше да е n + 1, всичко върху (n + 1) факториел. Значи е върху 5! Не искам да те обърквам. Цялото това е върху (n + 1)! Цялото е върху 5 факториел. Можем да твърдим това, ако знаем, че петата производна... (n + 1)-вата производна... ако знаем, че 5-тата производна на f е по-малко от или равна на някаква стойност М, абсолютната стойност на петата производна на f – е по-малка или равна на някакво М в интервала х е между 0 и 1/4. Това са нашите а и b в този конкретен случай. Така че, когато погледнем графиката –точно това ни е дадено. Дали са ни графиката на абсолютната стойност на петата производна на f(х). 1/4 е ето тук. Това е 1/4. Не знаем каква е стойността ето тук. Изглежда приблизително, не знам, може би 31 или 32. Но знаем със сигурност, че е по-малко от 40 в интервала между 0 и 1/4. Значи можем да изберем М да е равно на 40. Знаем, че това е по-малко или равно на 40 в този интервал. Можем да твърдим това. Знаем също, че това ето тук, ще бъде по-малко, защото това ето тук е равно на това ето тук. Знаем, че това е по-малко от... ще го запиша. Това е – знам хора, които са получили 5 в този пример, без да могат да направят това. Така че не се стряскай, ако това ти изглежда много странно. Това е така, за да могат да видят кой наистина знае това. Можем да кажем, че това е въз основа на това свойство, можем да кажем, че е по-малко или равно на 40 по 1/4 на пета степен. Значи това е 40 по 1/4 на пета степен. Мога да кажа просто делено на 4^5 по – после този знаменател тук – имаме 5 факториел. Ще го запиша. 5 по 4, по 3, по 2. Не е нужно да пишем по 1, то не променя стойността. Можем да опростим. Можем да разделим числителя и знаменателя на 4. Това става 10, това става просто 1. Можем да разделим на 5. Това става 2, това става 1. Можем да разделим на 1. О, извинявам се, да разделим на 2. Това става 1 и това става 1. И можеш да кажеш, че тази стойност ето тук ще е равна на 1. Ще го запиша. Всичко това е по-малко от или равно на 1 върху 4 на пета степен по 3. Това е всичко, което остана в знаменателя. Колко е 4 на пета степен? Може би знаеш, или не знаеш. Можеш да го сметнеш на ръка, но 4 на пета степен е равно на 2 на 10-та степен, защото 4 е 2 на квадрат. 2 на 10-та степен, ако го знаеш от компютърните науки, е 1024. Но може да го сметнеш и самостоятелно. Значи това е по-малко или равно на 1024 по 3. Колко е това? Това е по-малко или равно на 1/3... Колко е това? 72? 3000, 1 върху 3072. Тази стойност ето тук е по-малка от 1/3072. Знаем това със сигурност. Ако нещо е по-малко от 1/3072, то със сигурност е по-малко от 1/3000. 1/3000 е по-голямо число. Има по-малък знаменател. Това определено е по-малко или равно на 1/3000. И сме готови. Доказахме, че това е по-малко от 1/3000. Доказахме, че грешката за х = 1/4 е по-малка от 1/3000.