Изпити по математически анализ - част 2: 2008 1 b&c

- Нека продължим с първата задача от изпита БЦ по висша математика от 2008 година Стигнахме част 'б' - Това май е прекалено дебело Така, казват ни, че хоризонтална права y е равна на минус 2 разделя площта r – това е r – на тве части Напишете, без да изчислявате, интегрално уравнение за площта на частта от р, която е под хоризонталните прави Да нарисуваме y равно на минус 2 Така, y равно на минус 2 ще изглежда ето така y е просто константа Това не е достатъчно дебело Не знам дали виждате това добре Нека направя по-добела права с по-тъмен цвят y равно на минус 2 ще изглежда като нещо такова И ни казват, че тази права разделя площта r на две части – тази и тази И това, което търсим, е интегрално уравнение за площта на частта от р, която е под хоризонталната права Така, интересува ни площта на тази част от r И помнете, че тук искат само да запишем израза, без да го пресмятале Така, че това би трябвало да ни спести време Така, как ще открием тази площ ? Лесната част е да открием израза, чиято определена интеграла ще вземем После ще ни е малко по-сложно да намерим ограничителните точки. Така, кой е изразът от тази определена интеграла, който ще използваме ? Ами, точно както направихме с част 'а,' ще вземем сумата от няколко правоъгълника И височината им ще бъде равна на Разликата между двете функции - И това е y равно на минус 2, тогава тази функция ни е y равно на y на трета минус 4x Това е тази крива тук Значи, височината на всеки от тези малки правоъгълници ще бъде минус 2 минус x на трета минус 4x Това е височината на всеки от тези правоъгълници че широчината им е дь. че широчината им е dx. - Значи, ще умножим това по dx И сега ще вземем всички суми от x е равно на каквато ни е тази точка до каквато ни е тази точка. Значи, трябва да открием този точка, стойността на ф, която ще имаме тук, и после тази стойност на x която ще е тук. които тези две функции се пресичат които тези две функции се пресичат Как да намерим тези точки ? Ами можем да ги изравним Значи, можем да квжем, за какви стойности на x x на трета минус 4x е равно на минус 2 ? За какви стойности на x, стойностите на y ще са същите ? Ако искаме да запишем това като истински многочлен Ако искаме да запишем това като истински многочлен, ще имаме x на трета минус 4x плюс 2 е равно на 0 Всъщност, аз преди малко опитах да снимам клип, в който да реша това набързо, но го гледах и гледах, докато си казах, този многочлен е много труден за умножение Опитах да налучкам или намеря числата – дори използвах метода на Нютон – и все ми се получаваха странни числа Започнах да се съмнявам в себе си И тогава погледнах теста Мога да ви го покажа - За някои задачи (или части от задачи) е нужен калкулатор за чертаене на графики И разбрах, че от нас вероятно се иска да използваме такъв калкулатор, за да открием корените на този многочлен Нека направим това Минало е доста време, откакто съм държал теста AP то висша математика и чак сега си спомних колко са важни тези калкулатори Току-що си свалих този емулатор ТI-85 Нека го използваме, за да намерим корените на този многочлен Пускаме го - Ако търсим корени, трябва да използваме функцията 'поли' От каква степен е този многочлен ? Какъв е многочленът от трета степен ? f на x на трета Значи, степента е трета, натискаме А какви са коефициентите ? Ами, коефициентът на x на трета е 1 Слизаме надолу Какъв е коефициентът на ь на квадрат ? Ами, тук нямаме член ь на квадрат, нали ? Така, че този коефициент е 0 Слизаме надолу Какъв е коефициентът на члена x Минус 4 - Пак слизаме надолу Какъв е коефицентът на константния член ? Това ще ни е 2 Сега можем да натиснем 'пресметни' - И получаваме три шантави числа. Това ни показва, че много трудно бихме решили това по аналистичен път ако имаме обикновен мозък. Така, да видим Има три места, в които y равно на минус 2 се пресича с x равно на x на трета минус 4x Пресичт се при минус 2,21 Това дори е извън графиката ни Някаде далеч вляво Тази крива вероятно се връща долу и пресича тук, при минус 2 Но пресича и при 1,675, което трябва да е ето тук Така, това изглежда като 1,675 Пресича и при 0,539, което е ето тук Значи, можем да използваме тези стойности, които ни даде калкулатора за чертаене на графики и да ги сложим в определената си интеграла За тази точка тук, калкулаторът ни каза, че x е равно на 0,539 Значи, тук слагаме 0,539 И сега тази точка – това са ни границите на интеграция за нашата определена интеграла, нали така ? Ще съберем тези малки правоъгълници от x равно на 0,539 до x равно на 1,675 И ни казаха, че не е нужно да изчисляваме това така че сме готови с част 'b' Можем просто да напишем това и да се надяваме, че ще получим максималния брой точки А може би биха искали да опростим малко (макар да се съмнявам, че биха ви отнели точки заради това) Както и да е, да решим и част 'c' Ако имаме време Част 'c' Казват ни, че площта r е основата на твърдо тяло За това тяло, всяко напречно сечение, перпендикулярно на оста x, е квадрат Намерете обема на твърдото тяло. Да видим, това е интересно Да видим, дали мога да го нарисувам Ще начертая тази крива в перспектива за да видите твърдото тяло, за което говорят Това е същата площ r Значи, отгоре имахме синусна функция Изглежда като нещо такова И оттолу имахме многочленна функция, която би трябвало да изглежда ето така Опитвам се да я начертая под ъгъл Искам да ви покажа оста x - Това ще ни бъде оста x - Нека начертая и оста y Изглежда като нещо такова Опитвам се да приложа малко перспектива, за да можем да визуализираме това, за което ни говорят - Значи, това е оста y Това ни е x y. И ни казват, че това е площта r, точно както в предните две части на задачата Казват, че площта р е основата на твърдо тяло Значи, това е базата на твърдо тяло И сега, всяко напречно сечение, перпендикулярно на оста x... перпендицулар то тхе x-аьис. Да видим дали мога да начертая такова сечение Ето, това е сечение Все едно взимаме нож и режем така, успуредно на оста y - Да кажем, че взимаме това напречно сечение Казват ни, че то е квадрат Това означава, че основата трябва да има същата височина като височината Значи, ако вземем напречното сечение тук ще бъде нещо такова А тук би било по-малък квадрат, ето така А ако вземем напречното сечение тук също бихме имали малък квадрат - А това, което искат от нас, е да намерим обема на твърдото тяло Сега можете да си представите как изглежда Имаме малки квадрати, които стават много големи и после пак стават малки Как да процедираме ? Ще направим същото нещо Сте вземем площта на всеки от тези квадрати (знаем, че са квадрати ), ще умножим по всяко дь (малките диференциали) и ще ги съберем от 0 до 2 На първата диаграма, мисля, че имахме 2 О, времето ми изтича Ще продължим с тази задача в следващия клип До скоро. -