Изпити по математически анализ - част 2: 2008 1 c&d

- Така, решавахме част 'c' от първата задача, дадена на изпита 'BC' по висша математика (от задачите с отворени отговори) Ще прочета условието отново. Имаме площ r, ето тук Това е основата на твърдо тяло Тук прерисувах площта р в перспектива, за да си я представим по-добре в триизмерен вид И говорим за всяко напречно сечение, перпендикулярно на оста x. Има два начина да направим напречно сечение Единият е да режем насам, но това би било успуредно на оста x А ние искаме да режем перпендикулярно на оста x или успуредно на оста y, нали така ? Значи, режем така, по тази линия Казват ни, че всяко напречно сечение, перпендикулярно на оста x, е квадрат Тук нарисувах няколко квадрата Ето един от тях Значи, това тук ще ни е основата и, тъй като знаем че напречното сечение е квадрат, височината трябва да ни е дълга точно колкото основата Тук, нещата са същите Тук, височината е много голяма, защото това може би е максималната ми точка от гледна точка на ширината на основата и Тук все още е доста широко и тук отново се стеснява Как можем да открием обема на това твърдо тяло ? Малко е трудно на го визуализираме А пък да се начертае е още по-трудно, това трябва да ми го признаете Така, това което трябва да направим, е да вземем площта на всеки един от тези квадрати (като този, който начертах) Взимаме площта на всички тези квадрати, умножаваме по една много малка разлика в x и знаем, от всичко, което сме научили от висшата математика, че тази много малка разлика в x е dx (опитвам да начертая това в перспектива) Значи, ако множим dx по площта на тови квадрат, това е обемът на тази част от цялото тяло И ако съберем всички тези безкрайно тесни тела, ще получим обема на цялото тяло Как да направим това ? Нека напишем интегралния израз Каква е площта на всеки един от тези квадрати ? Площта на всяко такова напречно сечение ? Ами, основата ще бъде разликата между двете ни функции, нали ? Тази функция, горната, беше синус от Пи x А тази функция, долната, е y равно на x на трета минус 4x Значи, основата на функциите, основата на това разстояние тук, ще ни бъде разликата между горната функция и долната функция Значи, всяка основа ще бъде синус на Пи x, минус тази функция, значи минус x на трета, плюс 4x, обръщаме знака. Минус x на трета, плюс 4x До тук, това може да ни изглежда много подобно на част 'а', но каква е уловката ? Търсим площта. Площта на всеки от квадратите, а не просто разстоянието Значи, каква е площта ? Ще бъде това разстояние на квадрат, значи трябва да повдигнем цялото това на квадрат. Значи, това е площта на всеки от квадратите и после трябва да ги умножим по dx И това ще ни даде обема на всички тези части от цялото тяло После, какви са ни границите на интеграцията ? Ами, същите като в част 'а' Това е 0, а това е 2 Значи, границите са ни ясни Значи сега просто трябва да изчислим това Както и в част 'б', тук първо опитах да изчисля това по аналитичен път, но се получава много, много шантава интеграла Теоритично, можете да изчислите стойността и по този начин, но ще трябва да използвате тригонометрични формули за намаляване на степента, ще трябва да интегрирате по части и … вероятно ще ви изтече всичкото време за този изпит. И тъй като са ни казали, че ще имаме нужда от калкулатор за чертаене на графики, защо да не го използваме сега ? - Защото този калкулатор е много добър при изчисляването на определени интеграли като тази Нека пак взема моя емулатор ТИ-85 Ето Добре, включих го, излизаме оттук Ще използваме функцията 'математически анализ' И тази функция тук ни е 'определена интеграла' - много полезна функция за нас Натискам Ф5, 'определен интеграл' - И сега просто набираме израза Нека леко преместя израза надолу Отваряме скоба, синус от... къде е Пи Много отдавна не съм използвал такъв калкулатор А, ето го Пи Второ, Пи x синус от Пи x минус x на трета, плюс 4x - Всичко това на квадрат И сега трябва да кажем за тази функция, коя ни е независимата променлива или, коя променлива интегрираме и това ни е x И сега ни пита за границите на интеграцията и сме готови Значи, интегрираме от x равно на 0 до x равно на 2 Дано не съм объркал нещо. Сега натискаме 'еnter' и оставяме калкулатора да свърши останалата работа Да видим какво се получава Така, ето го отговора, това е обемът на твърдото тяло – 9,9783. Значи, мажете да запишете, това е равно на 9,9783 Сигурен съм, че тук се очаква от вас да използвате калкулатор, защото, честно казано, пресмятането на интегралата е много механична математика, макар и може би полезна, и това би ви отнело прекалено много време Мисля, че това, което искат от вас тук, е да построите интегралата, да откриете, че площта на всеки от квадратите ще бъде това разстояние - разстоянието между функциите на квадрат И после интегрирате това от 0 до 2 Да видим колко време ми остава Остават ми около две минути Нека започнем част 'г' - Тук се обърках малко, редактирам и поставям тук Исках да направя това малко по-малко Какво ни казват в част 'г' ? Площта r е повърхността на малко езеро При всички точки 'r' на разстояние x от оста y, дълбочината на водата е h от x равно на 3 минус x Значи, дълбочината е 3-x, нали така ? Значи, в тази част от езерото, дълбочината е просто 3 (или 3 минус 0) А в тази част, дълбочината е 3-2, което е 1 В общи линии, езерото става все по-плитко като се придвижваме надясно Можете да си го представите, нека го начертая отново Значи, това е синусната функция с малко перспектива Това отдолу е многочленната функция Това ни е оста x - Това е оста y - Тук, дълбочината на езерото ни е дадена чрез функцията h от x равно на 3 минус x Значи, дълбочината тук е 3, значи ако отида право надолу до дъното на езерото, дълбочината ще ми е 3. В общи линии, езерото става все по-плитко когато се движим надясно Как да открием обема ? 1, нали така, 3 минус 2 Това е ь равно на 2 Значи, дълбочината тук ще е 1 Значи, дълбочината тук ще е 1 Значи, ако вземем напречното сечение точно по оста x, дълбочината ще ни бъде нещо такова Знам, че е малко трудно да го визуализираме Но как да открием какъв е обемът на езерото ? Всъщност, вече минаха девет минути, така че ще продължа в следващия клип. До скоро. -