Изпити по математически анализ - част 2: 2008, 1 d

- Добре дошли отново Решаваме последната част на първа задача от BC изпита по висша математика от 2008 Ще повторя задачата Казват ни, че площта r е повърхността на малко езеро При всички точки от r, които са на разстояние x от оста y, дълбочината на водата ни е дадена като h от x равно на 3 минус x Намерете обема на водата в езерото Опитахме да направим чертеж в перспектива Това тук ни е повърхността на езерото И се опитвах да начертая дълбочината Значи, когато x е равно на 0, дълбочината е точно 3 (предполагам, 3 фута, или някаква друга мерна единица) А когато x е 2, езерото е дълбоко 1 единица За да намерим обема, ще разсъждаваме по същия начин Как изглежда напречно сечение в която и да е точка на езерото ? Да видим Нека вземем това напречно сечение на езерото Нека поне взема друг цвят, знам че това е доста объркващо Това не е толкова различно Това ни е зелено Значи, ширината по повърхността на езерото ще бъде разликата между двете функции. И знаем, че горната функция е синус от Пи x и че долната функция е x на трета минус 4x - Да видим, мога ли да начертая Това напречно сечние - Знаем, хе ширината по повърхността на това напречно сечение ще бъде разликата между тези две функции, нали ? Да видим мога ли да го нарисувам. Това е същото напречно сечение, ширината по върха (знам, че ви обърквам) ще бъде тази функция минус тази функция Това ще бъде синус на Пи x минус x на трета минус 4x А каква ще ни бъде височината тук ? Ами, това са ни го казали Височината, или дълбочната, на езерото във всяка точка е 3 минус x, каквато ни е съответната стойност на x Значи, това ще бъде 3 минус 3 Площта на това напречно сечение на езерото ще бъде синус на Пи x минус x на трета минус 4 x по дълбочината на езерото, нали ? Това е ширината на повърхността по дълбочината Значи, това по 3 минус x Това е площта на всяко от напречните сечения На нас ни трябва обема на цялото езеро, взимаме обема на всяка от тези части на езерото Значи, взимаме площта на всяко напречно сечение и я умножаваме по много малка ширина, за да получим много малка частица Взимаме това, умножаваме го по dx и интегрираме Събираме всички части на езерото от x е равно на 0 до x е равно на 2 Нека го направим Да интегрираме от x е равно на 0 до x е равно на 2 Пак ще повторя, че това е тежка интеграла Можете да се справите, особено ако интегрирате по части, но това е малко разхвърляно и имате само 45 минути за всички задачи на изпита BC, така че предполагам, че тук очакват да използвате калкулатор Нека използваме калкулатор за да пресметнем Да видим - На калкулатора още имаме част 'c' Ако натиснем 'еnter' още веднъж, ще намерим това, което сме написали преди Защото вече сме написали доста неща Разликата между част 'c' и това, което правим сега, е че сега, вместо да вдигаме на квадрат, - умножаваме по 3 минус x - Да го направим Можем да изтрием това 'на квадрат' Вече не ни трябва Изтрито Сега, искам да видите какво правя Набираме пак Набираме 'по 3 минус x' и затваряме скобата Така, да видим Имаме синус от Пи x минус x на трета плюс 4x, нали, това е същото като това По 3 минус x Променливата на интеграцията ни е x и интегрираме от x равно на 0 до x равно на 2 Да натиснем 'enter' - Пресмята... И отговорът ни е 8,37, което мисля, че е добър отговор Обемът на езерото е равен на 8,37 Надявам се това да ви е било полезно Ще се опитам да решавам по 2-3 такива задачи всеки ден Довиждане в следващия клип -