Математически анализ - част 2, 2008 2 b &c

- Добре дошли отново Решавахме част 'b' от втора задача Казва се, използвайте трапецоидна сума с 3 подинтервала, за да пресметнете средния брой хора, които чакат на опашка през първите 4 часа Досега просто взехме дадената информация и я нанесохме на графиката Направихме това в предишния клип Така, използвайте трапециодна сума с 3 подинтервала, за да пресметнете средния брой хора – това звучи сложно Сигурно си мислите – олеле, никога не съм учил за трапецоидни суми - Може би звучи объркващо Знаете ли, аз не съм учил висша математика от 20 години Ако просто си помислите какво ни казват тук, няма да изглежда толкова плашещо Каква е средната стойност на функция ? Това сте го учили Но може би не си спомняте - Средната стойност на ф между две точки, а и b, е разликата между двете точки, разделена на площта под кривата на f от x От а до b Нали така ? Мисля, че това се нарича 'втората фундаментална теорема на висшата математика Или път извод от фундаменталната теорема на висшата математика Разбирате ме, нали ? - Средната стойност на функция е равна на площта под кривата, разделена на, да кажем, основата на фигурата Нали така ? Защото, ако просто вземем средната стойност на тази функция и умножим тази средна стойност по основата, ще получим същата площ като интегралата Може да мислите по този начин Можете да препишете това като b минус а Основата по средната стойност е същото като площта под кривата - Ето друг начин да го представим Така, нека просто приложим това тук Да използваме трапецоидната сума, за да открием площта под тази крива, или площта под l от т, и после можем да разделим на b минус а Или, в този случай, б е 4, а а е 0 Върху първите 4 часа... и ще получим средната стойност на хората, които чакат на опашка Нека го направим Първо да изтрием Всъщност, няма да използваме интервал Ще използваме трапецоидна сума, за да изчислим интегралата Казват ни, че има 3 интервала - 'трапецоидна сума с 3 подинтервала' Ами, тук виждам 3 много логични подинтервали Нека ги начертая Казват ни, че има 3 интервала - Нека използвам прекъсната линия Това е един от подинтервалите А това е друг Готови сме, имаме три трапеци Този, този и този Значи, трябва просто да намерим площта Значи, трябва просто да намерим площта на всеки от тези трапеци Чертая в различни цветове, за да виждате трапеците Този тръгва от тук... ох, не знам дали го правя правилно Да видим Ще използвам приложението за чертаене на прави линии Ето един трапец тук и още един тук И сега още един тук Сега просто трябва да намеря лицата на тези трапеци и това ще ми бъде и площта под кривата на l от т, от 0 до 4 После само деля на 4 и сме готови с част ' b' Така, какво е лицето на първия трапец ? Как намираме лицато на трапец ? Търсим основата Значи, лицето на този трапец ни е основата, която е 1 Имаме 1 по средноаритметичното на двете височини Нали ? Това е средното Тук е 120, а тук е 156 Средноаритметично на 120 и 156 ? Ами, да видим Получава се 276 делено на 2, което е 138 Имаме 1 по 138 или просто 138 Това е лицето на този трапец А какво е лицето на този трапец тук ? На по-големия ? Ами, основата е 2, нали ? 1,2 Основата е 2 А средноаритметичното ? Ами, средноаритметично на 156 и 176 Или средната стойност между тези две височини Това е по-лесно, нали ? 166 е точно между тези две числа, значи няма нужда от много пресмятане Значи, имеме 2 по 166 Извинете, не 1,66, а 166 И накрая, какво е лицето на тови трапец ? Основата му е 1, нали ? Отива от 3 до 4 1 по средната стойност Имаме 176 и 126 1 / 2 по … нека използвам калкулатора, за да не направя някоя грешка Верния ми емулатор ТI-85 Да видим 176 плюс 126 Въвеждаме Делено на 2, е равно на 151 Значи, това лице ни е 1 по 151 или 151 Значи, каква е общата площ ? Ще бъде сумата на тези трапеци Значи, 138 плюс 2 по 166 плюс 151 Това е общата площ под тези трапеци И сега ни питат, каква е средната стойност на функцията ? Ами, средната стойност е просто площта, разделена на основата Основата е 4, нали ? От обяд до 16 часа Или от време равно на 0 до време равно на 4 Значи, просто делим тази стойност на 4 Така, делено на 4, получаваме 155,25 Казват ни, използвайте трапецоидна сума с 3 подинтервала за да намерите средния брой хора, чакащи за билети през първите 4 часа на продажбата Значи, отговорът на част 'b' е 155,25 Не са ни казали да закръгляле, така че предполагам че няма проблем средният брой хора да е дроб тук Изглежда приемливо - Да видим, до коя част стигнахме ? До част 'c' Добре Да видим част 'c' Мисля, че ще използваме същата графика Ще изтрия всичко, което вече не ни трябва - Мога да изтрия това и това Ще изтрия всичко, което вече не ни трябва Искам да стане колкото може по-спретнато - Като гледам тази графика, мисля че ще ни е полезна в част 'c' Ок Мисля, че така е достатъчно добре Да решим част 'c' Нека копирам и поставя - Част 'c' - Ок, копирах я Редактирай, постави - ok За т е по-голямо от 0 и по-малко от 9 Какъв е най-малкият брой пъти, когато л едно от т ще е равно на 0 ? Обяснете отговора си л прим от т, това е производно на това Когато съединих тези точни се надявах да се получи крива, но не ми се получи крива Не трябва да имаме такива остри ръбове, нали ? А откъде знаем, че имаме крива ? Защото е диференцируема Непрекъсната е Всъщност, даже два пъти диференцируема Което ни казва, че производната е непрекъсната Значи, истинската графика трябва да изглежда като нещо такова Ще го направя в ярък цвят Крива, която досига максимална височина някъде и после слиза надолу И после отива нагоре така И може би отива нависоко и слиза ето така Това ни е крива, нали ? Питат ни, какъв е най-малкият брой пъти, когато л прим от т ще е 0 ? Ами, какво става когато л прим от т е 0 ? Значи, че сме в минималната или максималната стойност на функцията или пък в инфлексна точка Но не знаем със сигурност При минималната и максималната стойности сме сигурни, че l прим от т е равно на 0 Можем да погледнем графиката и да си кажем тук някуде трябва да имаме минимална стойност сомеплаце ин тхис ранге. Нали ? Между тук и тук Както съм го начертал, тук изглежда, че наклонът е 0 А между тук и тук, излежда че наклонът също ще достигне най-долната точка по някое време Например тук А пък някъде тук, в този диапазон ще имаме най-високата точка Като разглеждам графиката, си казвам : имаме 2 максимални стойности и една минимална, значи наклонът ще е 0 поне в 3 точки, нали ? Но от нас се иска и да обясним отговора си Ето как ще обясним Всъщност, можем да използваме Роловата теорема или теоремата за средна стойност, но най-простото обяснение е, че тук имаме 3 промени в знака на средната скорост или по-точно, средното темпо, l от т - Не се занимаваме със скорост в тази задача Нека използвам по-дебела линия Взимам жълто Значи от тук до тук, имаме промяна в знака От тук до тук, имаме промяна в знака И от тук до тук, можем да имаме промяна в знака Ето какво бих могъл да напиша на изпита АP Ами, функцията е двойно диференцируема, което значи, че производната и е непрекъсната Нека отбележа важните точки Производната и е непрекъсната - И имаме 3 промяни в знака на производната, нали ? В този интервал е положителна (или поне средната и стойност е положителна), после става отрицателна Някъде, тъй като производната е непроменлива трябва да имаме положителен знак в този обхват Можете да използвате по-официален език когато пишете В този обхват трябва да имаме отрицателна стойност Значи, трябва да имаме промяна в знака, което значи, че сме минали през 0 Същото обяснение може да се приложи между тук и тук, както и тук и тук Това е моят отговор Ще продължа с част 'д' в следващия клип тъй като минаха повече от 10 минути