Намиране на относителни най-малки и най-големи стойности

Искам да помислим за какви стойности на х тази оранжева функция тук... нека да поясня. Това е графиката на у = f(х). За какви стойности на х, като имаме няколко варианта за избор, за кои от тези стойности на х функцията f(х) достига локален максимум или локален минимум? Насърчавам те да спреш видеото на пауза и да помислиш и да прецениш дали достигаме локален максимум или локален минимум за всяко от тези х. Първо да разгледаме х = а. f(а) е ето тук. Това е f(а). Мога лесно да построя отворен интервал около а, така че f(х), ако х принадлежи на този отворен интервал, ще бъде, определено ще бъде по-малко или равно на f(а). f(х) в този интервал определено... всичките му стойности са по-ниски от f(а). Така че това ето тук, можеш да го видиш даже, това е класическа стойност на локален максимум, до който достигаме. Какво да кажем за това? Ако това тук беше попълнено, ако имахме непрекъснатост, това очевидно щеше да е минимална точка. Но това прави нещо интересно, то скача. Така че това ето тук, това е стойността на f(b). Това тук е f(b). Това е малко нелогично. Но тук мога да направя един отворен интервал около b. Мога да направя отворен интервал около b, в който стойностите на f(х), ако сме в този интервал, са по-малки или равни на f(b). Значи f(b) ето тук също е локален максимум. Какво да кажем за с? Ако това беше просто на дъното на един... ако изглеждаше като е, това е класическият локален минимум. Но в с, виж това прекъсване. Какво се случва тук? Трябва да помислим дали можем да намерим отворен интервал около с, в който f(с) е... това тук е f(с) – където f(с) е по-малко или равно на стойностите на f(х) в този отворен интервал. Да видим, в този отворен интервал, който начертах, f(х) имаме тук и тук. Изглежда, че f(х) винаги е по-голямо или равно на f(с). Така че това съгласно това определение за точка на локален минимум, това е стойност на локален минимум. Това действително е стойност на локален минимум. И сега стигаме до d. Тук използваме същите аргументи, които използвахме за b, така че в d нашата функция достига друга точка на локален максимум. И накрая стигаме до е, когато х = е, тук функцията достига до това, което можем да считаме като класическа точка на локален минимум. Лесно можем да конструираме интервал, в който за всяка стойност на х от този интервал, f(х) ще бъде по-голяма от или равна на f(е). Значи това също е локален минимум.