Решен пример: Дължина на дъга за криви с полярни координати

В това видео искам да намеря дължината на кривата на едно листо, ако мога да се изразя така, (кривата се нарича "роза", тук с четири листа) от графиката на r = 4sin(2θ). Искам да намеря дължината на тази част от кривата, която е в червено. Ще го направим на два етапа. Първо искам да съставя определен интеграл, за да намерим тази дължина на кривата, а после ще го изчислим. Ще използвам калкулатор за пресмятанията, защото ще е по-лесно, поне за този интеграл. Да започваме. Препоръчвам ти да спреш видеото. Вече ти е известна формулата за дължината на кривата, когато работим с полярни координати, виж дали можеш с нея да намериш тази дължина тук. Предполагам, че опита, а сега да си припомним, че дължината на кривата ще е равна на интеграла от началния ъгъл до крайния ъгъл, които ще означим с алфа и бета, от квадратен корен от производната на функцията спрямо θ, на квадрат, плюс функцията на квадрат, по dθ. Да намерим r'(θ) и колко е r(θ). Ще използвам различни цветове. r'(θ), знаем колко е r(θ), само ще преработя това. Знаем, че r(θ) е равно на 4 по синус от 2θ. Първата производна ще е равна... производната на 2θ спрямо θ е 2, което по 4 е равно на 8, производната на синус е косинус, косинус от 2θ. Можем да запишем определен интеграл, това е равно на определен интеграл... Коя е началната ни граница? За листото, което ни интересува, започваме от ъгъл 0 радиана. Имаме ъгъл 0 радиана, r = 0, това е началната точка ето тук. Започваме от нула радиани. И отиваме до π/2. Синус от 2 по π/2 е равно на синус от π, който е нула, така че се връщаме в тази точка ето тук. Тръгваме от нула до π/2 радиана. Това е равно на квадратен корен от... ще си направя малко място, (r'(θ))^2 е равно на този израз на квадрат. Това ще бъде 60... Ще използвам същия син цвят, ще бъде 64 косинус на квадрат от 2θ, после плюс това на квадрат става 16 синус на квадрат от 2θ, и после имаме dθ. Можеш да опиташ да го решиш аналитично, но не е много лесно, затова аз ще използвам калкулатор. Тук просто искам да добиеш представа, че съществуват инструменти, които могат да ни помогнат да решаваме такива задачи. Имам определен интеграл, отивам във второ меню анализ на моя калкулатор, избирам това, което се отнася за определен интеграл. Имаме определен интеграл, това е квадратен корен от 64 по косинус от 2θ, на квадрат. Ще използвам х, вместо θ. Просто така е по-лесно на моя калкулатор. Косинус от 2... Искам да проверя дали правилно съм сложил скобите. Косинус от 2х, добре, затваряме скобите. Сега искам да повдигна това на квадрат. Направих първата част. Плюс 16 по синус от 2х. Затварям тези скоби, затварям и тези. На квадрат. Не съм сигурен дали калкулаторът може да тълкува това като умножение, затова ще го проверя още веднъж. 64 по косинус от 2х, това на квадрат. Плюс 16 по синус от 2х, това на квадрат. Сега отивам до края. Затварям корена, затварям това ето тук, затварям го и намирам корен квадратен от това. После запетайка, променливата, спрямо която интегрирам, в този случай е х. Навсякъде другаде виждам тита. Замествам го с х тук. Искам да е от х, вместо от тита равно на нула, до тита равно на π/2, ще кажем х = 0 до х = π/2. Надявам се, че не съм допуснал грешка, докато въвеждам. И получавам... Малко се замисли. Получаваме... Ще успее ли накрая? О, накрая! Ще го закръгля до третия знак, получаваме 9,688. Приблизително 9,688. Да видим дали изглежда логично. Отдалечава се на 4 единици, така ч е ако стигнеш до четири и после се върнеш, това става 8. Разбира се, това не е по права линия, така че изглежда логично дължината на кривата да бъде 9,688. Надявам се, че ти беше приятно.